Mathematik

Topologie

Topologie , Zweig der Mathematik , manchmal auch als "Gummiplattengeometrie" bezeichnet, bei der zwei Objekte als gleichwertig angesehen werden, wenn sie kontinuierlich sein könnendurch Bewegungen im Raum wie Biegen, Verdrehen, Dehnen und Schrumpfen ineinander verformt, während das Zerreißen oder Zusammenkleben von Teilen verhindert wird. Die Hauptthemen der Topologie sind die Eigenschaften, die durch solche kontinuierlichen Verformungen unverändert bleiben. Obwohl die Topologie der Geometrie ähnlich ist , unterscheidet sie sich von der Geometrie darin, dass geometrisch äquivalente Objekte häufig numerisch gemessene Größen wie Längen oder Winkel gemeinsam haben, während topologisch äquivalente Objekte sich in einem qualitativeren Sinne ähneln.

Gleichungen an die Tafel geschrieben
Britannica Quiz
Alles über Mathe-Quiz
Ihr Algebra-Lehrer hatte recht. Sie werden nach dem Abschluss Mathe verwenden - für dieses Quiz! Sehen Sie, woran Sie sich aus der Schule erinnern, und lernen Sie dabei vielleicht ein paar neue Fakten.

Der Bereich der Topologie, der sich mit abstrakten Objekten befasst, wird als allgemeine oder Punktmenge-Topologie bezeichnet. Die allgemeine Topologie überschneidet sich mit einem anderen wichtigen Bereich der Topologie, der algebraischen Topologie . Diese Spezialgebiete bilden die beiden Hauptunterdisziplinen der Topologie, die sich in ihrer relativ modernen Geschichte entwickelt haben.

Grundbegriffe von allgemeine Topologie

Einfach verbunden

In einigen Fällen sind die in der Topologie berücksichtigten Objekte gewöhnliche Objekte, die sich im dreidimensionalen (oder niedriger-) dimensionalen Raum befinden. Beispielsweise sind eine einfache Schleife in einer Ebene und die Begrenzungskante eines Quadrats in einer Ebene topologisch äquivalent, wie beobachtet werden kann, indem man sich die Schleife als ein Gummiband vorstellt, das gedehnt werden kann, um eng um das Quadrat zu passen. Auf der anderen Seite ist die Oberfläche einer Kugel ist nicht topologisch äquivalent zu einem Torus, die Oberfläche eines festen donut ring. Um dies zu sehen, beachten Sie, dass jede kleine Schleife, die auf einer festen Kugel liegt, kontinuierlich auf einen beliebig kleinen Durchmesser geschrumpft werden kann, während sie auf der Kugel gehalten wird. Ein Objekt, das diese Eigenschaft besitzt, wird als einfach verbunden bezeichnet, und die Eigenschaft, einfach verbunden zu sein, ist in der Tat eine Eigenschaft, die unter einer kontinuierlichen Verformung erhalten bleibt. Einige Schleifen an einem Torus können jedoch nicht verkleinert werden, wie in der Abbildung gezeigt .

Viele Ergebnisse der Topologie betreffen Objekte, die so einfach sind wie die oben genannten. Die Bedeutung der Topologie als Zweig der Mathematik ergibt sich jedoch aus ihrer allgemeineren Betrachtung von Objekten, die in höherdimensionalen Räumen enthalten sind, oder sogar von abstrakten Objekten, die Mengen von Elementen sehr allgemeiner Natur sind. Um diese Verallgemeinerung zu erleichtern , muss der Begriff der topologischen Äquivalenz geklärt werden.

Erhalten Sie mit Ihrem Abonnement exklusiven Zugriff auf Inhalte aus unserer 1768 First Edition. Abonnieren Sie noch heute

Topologische Äquivalenz

Die Bewegungen, die mit einer kontinuierlichen Verformung von einem Objekt zum anderen verbunden sind, treten im Kontext eines umgebenden Raums auf, der als Umgebungsraum der Verformung bezeichnet wird. Wenn eine kontinuierliche Verformung von einem Objekt zu einem anderen in einem bestimmten Umgebungsraum durchgeführt werden kann, werden die beiden Objekte in Bezug auf diesen Raum als Isotopen bezeichnet. Stellen Sie sich beispielsweise ein Objekt vor, das aus einem Kreis bestehtund ein isolierter Punkt innerhalb des Kreises. Ein zweites Objekt bestehe aus einem Kreis und einem isolierten Punkt außerhalb des Kreises, jedoch in derselben Ebene wie der Kreis. In einem zweidimensionalen Umgebungsraum können diese beiden Objekte nicht kontinuierlich ineinander verformt werden, da die Kreise aufgeschnitten werden müssten, damit die isolierten Punkte hindurchtreten können. Wenn jedoch der dreidimensionale Raum als Umgebungsraum dient, kann eine kontinuierliche Verformung durchgeführt werden. Heben Sie einfach den isolierten Punkt aus der Ebene heraus und setzen Sie ihn auf der anderen Seite des Kreises wieder ein, um die Aufgabe zu erfüllen. Somit sind diese beiden Objekte in Bezug auf den dreidimensionalen Raum isotopisch, aber sie sind in Bezug auf den zweidimensionalen Raum nicht isotopisch.

The notion of objects being isotopic with respect to a larger ambient space provides a definition of extrinsic topological equivalence, in the sense that the space in which the objects are embedded plays a role. The example above motivates some interesting and entertaining extensions. One might imagine a pebble trapped inside a spherical shell. In three-dimensional space the pebble cannot be removed without cutting a hole through the shell, but by adding an abstract fourth dimension it can be removed without any such surgery. Similarly, a closed loop of rope that is tied as a trefoil, or overhand, knot (see figure) in three-dimensional space can be untied in an abstract four-dimensional space.