Mathematik

Logarithmus | Regeln, Beispiele und Formeln

Logarithmus , der Exponent oder die Potenz, auf die eine Basis angehoben werden muss, um eine bestimmte Zahl zu erhalten. Mathematisch ausgedrückt ist x der Logarithmus von n zur Basis b, wenn b x = n ist. In diesem Fall schreibt man x = log b n . Zum Beispiel 2 3 = 8; Daher 3 ist der Logarithmus von 8 bis Basis 2 oder 3 = log 2 8. In der gleichen Art und Weise, da 10 2 = 100, dann 2 = log 10 100. Logarithmen der letzteren Sorte (das heißt, Logarithmen mit der Basis 10 ) werden genanntgemeinsame oder Briggs'sche Logarithmen und werden einfach log n geschrieben .

Logarithmen wurden im 17. Jahrhundert erfunden, um Berechnungen zu beschleunigen, und reduzierten den Zeitaufwand für das Multiplizieren von Zahlen mit vielen Ziffern erheblich. Sie waren mehr als 300 Jahre lang grundlegend in der numerischen Arbeit, bis die Perfektion mechanischer Rechenmaschinen im späten 19. Jahrhundert und Computer im 20. Jahrhundert sie für umfangreiche Berechnungen überflüssig machten. DasDer natürliche Logarithmus (mit der Basis e ≅ 2.71828 und geschrieben in n ) ist jedoch weiterhin eine der nützlichsten Funktionen in der Mathematik , mit Anwendungen auf mathematische Modelle in den physikalischen und biologischen Wissenschaften.

Eigenschaften von Logarithmen

Logarithmen wurden von Wissenschaftlern aufgrund verschiedener nützlicher Eigenschaften, die lange, langwierige Berechnungen vereinfachten, schnell übernommen. Insbesondere könnten Wissenschaftler das Produkt zweier Zahlen m und n finden , indem sie den Logarithmus jeder Zahl in einer speziellen Tabelle nachschlagen, die Logarithmen addieren und dann die Tabelle erneut konsultieren, um die Zahl mit dem berechneten Logarithmus (bekannt als its) zu findenAntilogarithmus). In gemeinsamen Logarithmen ausgedrückt, ist diese Beziehung gegeben durch log m n = log m + log n . Zum Beispiel können 100 × 1.000 berechnet werden, indem die Logarithmen von 100 (2) und 1.000 (3) nachgeschlagen werden, die Logarithmen addiert werden (5) und dann der Antilogarithmus (100.000) in der Tabelle gefunden wird. In ähnlicher Weise werden Divisionsprobleme in Subtraktionsprobleme mit Logarithmen umgewandelt: log m / n = log m - log n. Das ist nicht alles; Die Berechnung von Potenzen und Wurzeln kann durch die Verwendung von Logarithmen vereinfacht werden. Logarithmen können auch zwischen beliebigen positiven Basen konvertiert werden (außer dass 1 nicht als Basis verwendet werden kann, da alle ihre Potenzen gleich 1 sind), wie in der Abbildung gezeigtLogarithmische GesetzeTabelle der logarithmischen Gesetze.

In Logarithmentabellen wurden normalerweise nur Logarithmen für Zahlen zwischen 0 und 10 aufgenommen. Um den Logarithmus einer Zahl außerhalb dieses Bereichs zu erhalten, wurde die Zahl zuerst in wissenschaftlicher Notation als Produkt ihrer signifikanten Ziffern und ihrer Exponentialkraft geschrieben - beispielsweise würde 358 als 3,58 × 10 2 und 0,0046 als geschrieben werden als 4,6 × 10 –3 . Dann der Logarithmus der signifikanten Ziffern - ein Dezimalbruch zwischen 0 und 1, bekannt alsMantisse - würde in einer Tabelle gefunden werden. Um beispielsweise den Logarithmus von 358 zu finden, würde man log 3.58 ≅ 0.55388 nachschlagen. Daher ist log 358 = log 3,58 + log 100 = 0,55388 + 2 = 2,55388. Im Beispiel einer Zahl mit einem negativen Exponenten wie 0,0046 würde man log 4,6 ≅ 0,66276 nachschlagen. Daher ist log 0,0046 = log 4,6 + log 0,001 = 0,66276 - 3 = –2,33724.

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Geschichte der Logarithmen

Die Erfindung der Logarithmen wurde durch den Vergleich von arithmetischen und geometrischen Folgen angekündigt. In einer geometrischen Folge bildet jeder Term mit seinem Nachfolger ein konstantes Verhältnis ; Zum Beispiel hat … 1/1000, 1/100, 1/10, 1, 10, 100, 1.000… ein gemeinsames Verhältnis von 10. In einer arithmetischen Folge unterscheidet sich jeder aufeinanderfolgende Term durch eine Konstante, die als gemeinsame Differenz bezeichnet wird. Zum Beispiel hat … −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3… eine gemeinsame Differenz von 1. Beachten Sie, dass eine geometrische Sequenz in Bezug auf ihr gemeinsames Verhältnis geschrieben werden kann. für die oben angegebene geometrische Beispielsequenz: … 10 −3 , 10 −2 , 10 −1 , 10 0 , 10 1 , 102 , 10 3 …. Das Multiplizieren von zwei Zahlen in der geometrischen Folge, beispielsweise 1/10 und 100, entspricht dem Addieren der entsprechenden Exponenten des gemeinsamen Verhältnisses -1 und 2, um 10 1 = 10zu erhalten. Somit wird die Multiplikation in Addition umgewandelt. Der ursprüngliche Vergleich zwischen den beiden Reihen basierte jedoch nicht auf einer expliziten Verwendung der Exponentialnotation; Dies war eine spätere Entwicklung. 1620 veröffentlichte der Schweizer Mathematiker Joost Bürgi in Prag die erste Tabelle, die auf dem Konzept der Beziehung zwischen geometrischen und arithmetischen Folgen basiert.

Der schottische Mathematiker John Napier veröffentlichte 1614 seine Entdeckung der Logarithmen. Sein Ziel war es, die Multiplikation von Größen zu unterstützen, die damals als Sinus bezeichnet wurden. Der gesamte Sinus war der Wert der Seite eines rechtwinkligen Dreiecks mit einer großen Hypotenuse. (Napiers ursprüngliche Hypotenuse war 10 7. ) Seine Definition wurde in relativen Raten angegeben.

Der Logarithmus eines Sinus ist daher eine Zahl, die sehr genau die Linie ausdrückt, die in der Meene-Zeit gleichmäßig zunahm, während die Linie des gesamten Sinus proportional zu diesem Sinus abnahm, wobei beide Bewegungen zeitlich gleich waren und sich der Anfang gleich verschob.

In Zusammenarbeit mit dem englischen Mathematiker Henry Briggs , Napier passte seinen Logarithmus in seine moderne Form an. Für den naperischen Logarithmus würde der Vergleich zwischen Punkten erfolgen, die sich auf einer abgestuften geraden Linie bewegen, wobei sich der L- Punkt (für den Logarithmus) gleichmäßig von minus unendlich nach plus unendlich bewegt und der X- Punkt (für den Sinus) sich mit einer Geschwindigkeit von null nach unendlich bewegt proportional zu seinem Abstand von Null. Außerdem ist L Null, wenn X Eins ist und ihre Geschwindigkeit an diesem Punkt gleich ist. Das Wesen der Napier Entdeckung ist , dass dies stellt eine Verallgemeinerung der Beziehung zwischen der arithmetischen und geometrischen Reihe; dh Multiplikation und Erhöhen auf eine Potenz der Werte des X.Punkt entspricht der Addition bzw. Multiplikation der Werte des L- Punktes. In der Praxis ist es zweckmäßig, die L- und X- Bewegung durch die Anforderung zu begrenzen, dass L = 1 bei X = 10 ist, zusätzlich zu der Bedingung, dass X = 1 bei L = 0. Diese Änderung erzeugte den Briggs'schen oder gemeinsamen Logarithmus.

Napier starb 1617 und Briggs fuhr alleine fort und veröffentlichte 1624 eine Logarithmentabelle, die mit 14 Dezimalstellen für Zahlen von 1 bis 20.000 und von 90.000 bis 100.000 berechnet wurde. 1628 der niederländische VerlagAdriaan Vlacq brachte eine Tabelle mit 10 Plätzen für Werte von 1 bis 100.000 heraus und fügte die fehlenden 70.000 Werte hinzu. Sowohl Briggs als auch Vlacq haben logarithmische trigonometrische Tabellen erstellt. Solche frühen Tische hatten entweder einen Hundertstel Grad oder eine Bogenminute. Im 18. Jahrhundert wurden Tabellen in Intervallen von 10 Sekunden veröffentlicht, was für Tabellen mit sieben Dezimalstellen praktisch war. Im Allgemeinen sind feinere Intervalle erforderlich, um logarithmische Funktionen kleinerer Zahlen zu berechnen - beispielsweise bei der Berechnung der Funktionen log sin x und log tan x .

Die Verfügbarkeit von Logarithmen hat die Form der Ebene und der Kugel stark beeinflusst Trigonometrie . Die Verfahren der Trigonometrie wurden neu formuliert, um Formeln zu erstellen, in denen die Operationen, die von Logarithmen abhängen, auf einmal ausgeführt werden. Der Rückgriff auf die Tabellen bestand dann nur aus zwei Schritten, Logarithmen zu erhalten und nach Berechnungen mit den Logarithmen Antilogarithmen zu erhalten.