Mathematik

Gruppentheorie | Definition, Axiome und Anwendungen

Gruppentheorie , in der modernen Algebra , das Studium von Gruppen, die Systeme sind, die aus einer Menge von Elementen und einer binären Operation bestehen, die auf zwei Elemente der Menge angewendet werden können, die zusammen bestimmte Axiome erfüllen . Diese erfordern, dass die Gruppe unter der Operation geschlossen wird (die Kombination von zwei beliebigen Elementen erzeugt ein anderes Element der Gruppe), dass sie dem assoziativen Gesetz gehorcht , dass sie ein Identitätselement enthält (das zusammen mit jedem anderen Element das letztere verlässt unverändert), und dass jedes Element eine Umkehrung hat (die mit einem Element kombiniert wird, um das Identitätselement zu erzeugen). Wenn die Gruppe auch das Kommutativgesetz erfülltwird es eine kommutative oder abelsche Gruppe genannt. Die Menge der hinzugefügten ganzen Zahlen, bei der das Identitätselement 0 ist und die Umkehrung das Negative einer positiven Zahl ist oder umgekehrt, ist eine abelsche Gruppe.

Mathematiker der griechisch-römischen Welt
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Gruppen sind für die moderne Algebra von entscheidender Bedeutung. Ihre Grundstruktur findet sich in vielen mathematischen Phänomenen. In der Geometrie finden sich Gruppen , die Phänomene wie Symmetrie und bestimmte Arten von Transformationen darstellen. Die Gruppentheorie findet Anwendung in Physik , Chemie und Informatik , und sogar Rätsel wie Rubik's Cube können mithilfe der Gruppentheorie dargestellt werden.