Mathematik

Genaue Gleichung

Genaue Gleichung , Art der Differentialgleichung , die direkt ohne die Verwendung einer der speziellen Techniken im Fach gelöst werden kann. Eine Differentialgleichung erster Ordnung (einer Variablen) wird als genau oder als genaues Differential bezeichnet, wenn sie das Ergebnis einer einfachen Differenzierung ist . Die Gleichung P ( x , y ) y '+ Q ( x , y ) = 0 oder in der äquivalenten alternativen Notation P ( x , y ) d y + Q ( x , y ) dx = 0 ist genau, wenn P x ( x , y ) = Q y ( x , y ). (Die Indices in dieser Gleichung angeben , welche Variable die partielle Ableitung . Mit Bezug auf genommen wird) In diesem Fall wird es eine seine Funktion R ( x , y ), die teilweise x - Derivat davon ist , Q und der Teil y -Derivat davon ist P , so dass die Gleichung R ( x , y ) = c ist(wobei c konstant ist) definiert implizit eine Funktion y , die die ursprüngliche Differentialgleichung erfüllt.

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Zum Beispiel ist in der Gleichung ( x 2 + 2 y ) y '+ 2 x y + 1 = 0 das x- Derivat von x 2 + 2 y 2 x und das y- Derivat von 2 x y + 1 ebenfalls 2 x und die Funktion R = x 2 y + x + y 2 erfüllt die Bedingungen R x = Q und R y = P.. Die implizit durch x 2 y + x + y 2 = c definierte Funktion löst die ursprüngliche Gleichung. Wenn eine Gleichung nicht genau ist, kann sie manchmal genau gemacht werden, indem jeder Term mit einer geeigneten Funktion multipliziert wird, die als Integrationsfaktor bezeichnet wird. Wenn zum Beispiel die Gleichung 3 y + 2 x y '= 0 mit 1 / x y multipliziert wird , wird sie 3 / x + 2 y ' / y = 0, was das direkte Ergebnis der Differenzierung der Gleichung ist, in der das Natürliche Die logarithmische Funktion (ln) erscheint: 3 lnx + 2 ln y = c oder äquivalent x 3 y 2 = c , was implizit eine Funktion definiert, die die ursprüngliche Gleichung erfüllt.

Gleichungen höherer Ordnung werden auch als exakt bezeichnet, wenn sie das Ergebnis der Differenzierung einer Gleichung niedrigerer Ordnung sind. Zum Beispiel ist die Gleichung zweiter Ordnung p ( x ) y ' ' + q ( x ) y '+ r ( x ) y = 0 genau, wenn es einen Ausdruck erster Ordnung p ( x ) y ' + s ( x ) gibt. y so, dass seine Ableitung die gegebene Gleichung ist. Die gegebene Gleichung ist genau dann genau, wenn p '' - q '+ r = 0 ist. In diesem Falls in der reduzierten Gleichung ist gleich q - p '. Wenn die Gleichung nicht genau ist, kann es eine Funktion z ( x ) geben, die auch als Integrationsfaktor bezeichnet wird, so dass die Gleichung, wenn sie mit der Funktion z multipliziert wird, genau wird.