Mathematik

Évariste Galois | Französischer Mathematiker

Évariste Galois (* 25. Oktober 1811 in Bourg-la-Reine bei Paris , Frankreich; † 31. Mai 1832 in Paris), französischer Mathematiker, berühmt für seine Beiträge zum Teil der höheren Algebra, der heute als Gruppentheorie bekannt ist . Seine Theorie lieferte eine Lösung für die langjährige Frage, wann eine algebraische Gleichung durch Radikale gelöst werden kann (eine Lösung, die Quadratwurzeln , Kubikwurzeln usw. enthält, jedoch keine Trigonometriefunktionen oder andere nichtalgebraische Funktionen).

Galois war der Sohn von Nicolas-Gabriel Galois, einem wichtigen Bürger im Pariser Vorort Bourg-la-Reine. 1815, während des Hundert-Tage-Regimes nach Napoleons Flucht aus Elba, wurde sein Vater zum Bürgermeister gewählt. Galois wurde zu Hause ausgebildet, bis er 1823 das Collège Royal de Louis-le-Grand betrat. Dort wurde seine Ausbildung von mittelmäßigen und wenig inspirierenden Lehrern geschwächt. Seine mathematischen Fähigkeiten blühten jedoch auf, als er begann, die Werke seiner Landsleute Adrien-Marie Legendre über Geometrie und Joseph-Louis Lagrange über Algebra zu studieren .

Unter der Anleitung von Louis Richard, einem seiner Lehrer in Louis-le-Grand, veranlasste ihn Galois 'weiteres Studium der Algebra, sich mit der Frage der Lösung algebraischer Gleichungen zu befassen. Mathematiker hatten lange Zeit explizite Formeln verwendet, die nur rationale Operationen und Extraktionen von Wurzeln beinhalteten, um Gleichungen bis zum vierten Grad zu lösen, aber sie waren durch Gleichungen des fünften Grades und höher besiegt worden. 1770 unternahm Lagrange den neuartigen, aber entscheidenden Schritt, die Wurzeln einer Gleichung als eigenständige Objekte zu behandeln und deren Permutationen (eine Änderung einer geordneten Anordnung) zu untersuchen. 1799 versuchte der italienische Mathematiker Paolo Ruffini zu beweisen, dass es unmöglich ist, den General zu lösenQuintgleichung durch Radikale. Ruffinis Bemühungen waren nicht ganz erfolgreich, aber 1824 gab der norwegische Mathematiker Niels Abel einen korrekten Beweis.

Galois , angeregt durch Lagranges Ideen und zunächst nicht über Abels Arbeit informiert, begann nach den notwendigen und ausreichenden Bedingungen zu suchen, unter denen eine algebraische Gleichung jeglichen Grades gelöst werden kannRadikale. Seine Methode bestand darin, die „zulässigen“ Permutationen derWurzeln der Gleichung. Seine Schlüsselentdeckung, brillant und sehr einfallsreich, war, dass die Lösbarkeit durch Radikale genau dann möglich ist, wenn dieEine Gruppe von Automorphismen (Funktionen, die Elemente einer Menge unter Beibehaltung algebraischer Operationen auf andere Elemente der Menge übertragen) ist lösbar, was im Wesentlichen bedeutet, dass die Gruppe in einfache Bestandteile erster Ordnung zerlegt werden kann , die immer eine leicht verständliche Struktur haben . Der Begriff lösbar wird aufgrund dieses Zusammenhangs mit der Lösbarkeit durch Radikale verwendet. So erkannte Galois, dass das Lösen von Gleichungen des Quintins und darüber hinaus eine völlig andere Art der Behandlung erforderte als die, die für erforderlich warquadratische , kubische und quartische Gleichungen. Obwohl Galois das Konzept der Gruppe und andere damit verbundene Konzepte wie Coset und Subgruppe verwendete, definierte er diese Konzepte nicht wirklich und konstruierte keine strenge formale Theorie.

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Noch in Louis-le-Grand veröffentlichte Galois eine kleinere Zeitung, doch sein Leben wurde bald von Enttäuschung und Tragödie überholt. Eine Abhandlung über die Lösbarkeit algebraischer Gleichungen, die er 1829 der Französischen Akademie der Wissenschaften vorgelegt hatte, ging von Augustin-Louis Cauchy verloren . Bei zwei Versuchen (1827 und 1829), an der École Polytechnique , der führenden Schule für französische Mathematik , zugelassen zu werden, scheiterte er. Sein zweiter Versuch wurde durch eine katastrophale Begegnung mit einem mündlichen Prüfer beeinträchtigt. Ebenfalls 1829 sein Vater, nach erbitterten Zusammenstößen mit konservativenElemente in seiner Heimatstadt, Selbstmord begangen. Im selben Jahr schrieb sich Galois als Lehramtsstudent an der weniger angesehenen École Normale Supérieure ein und wandte sich dem politischen Aktivismus zu. In der Zwischenzeit setzte er seine Forschungen fort und ließ im Frühjahr 1830 drei kurze Artikel veröffentlichen. Gleichzeitig schrieb er das verlorene Papier um und präsentierte es erneut der Akademie - aber zum zweiten Mal verirrte sich das Manuskript. Jean-Baptiste-Joseph Fourier nahm es mit nach Hause, starb jedoch einige Wochen später, und das Manuskript wurde nie gefunden.

Die Juli-Revolution von 1830 schickte den letzten Bourbon-Monarchen , Karl X. , ins Exil. Die Republikaner waren jedoch zutiefst enttäuscht, als ein weiterer König, Louis-Philippe , den Thron bestieg - obwohl er der „Bürgerkönig“ war und die dreifarbige Flagge der Französischen Revolution trug. Als Galois einen energischen Artikel schrieb, in dem er pro-republikanische Ansichten zum Ausdruck brachte, wurde er sofort aus der École Normale Supérieure ausgeschlossen. Anschließend wurde er zweimal wegen republikanischer Aktivitäten verhaftet; Er wurde das erste Mal freigesprochen, verbrachte aber sechs Monate im Gefängnis wegen der zweiten Anklage. 1831 präsentierte er der Akademie zum dritten Mal seine Memoiren über die Theorie der Gleichungen. Diesmal wurde es aber mit einem negativen Bericht zurückgegeben. Die Richter, zu denen auch Siméon-Denis Poisson gehörte , verstanden nicht, was Galois geschrieben hatte, und glaubten (fälschlicherweise), dass es einen signifikanten Fehler enthielt. Sie waren nicht in der Lage gewesen, Galois 'ursprüngliche Ideen und revolutionäre mathematische Methoden zu akzeptieren.

Die Umstände, die zu Galois 'Tod in einem Duell in Paris geführt haben, sind nicht ganz klar, aber die jüngste Wissenschaft legt nahe, dass das Duell auf eigenen Wunsch inszeniert und bekämpft wurde, um wie ein Hinterhalt der Polizei auszusehen. Auf jeden Fall schrieb Galois in Erwartung seines Todes in der Nacht vor dem Duell hastig ein wissenschaftliches letztes Testament an seinen Freund Auguste Chevalier, in dem er seine Arbeit zusammenfasste und einige neue Theoreme und Vermutungen enthielt.

Galois 'Manuskripte mit Anmerkungen von Joseph Liouville wurden 1846 im Journal de Mathématiques Pures et Appliquées veröffentlicht . Aber es war nicht bis 1870, mit der Veröffentlichung von Camille Jordan ‚s Traité des Auswechslungen , dass die Gruppentheorie ein vollständig fester Bestandteil der Mathematik wurde.