Mathematik

Eulerkennlinie | Mathematik

Eulerkennlinie in der Mathematik eine Zahl C , die eine topologische Eigenschaft verschiedener Klassen geometrischer Figuren ist, die nur auf einer Beziehung zwischen der Anzahl der Eckpunkte ( V ), Kanten ( E ) und Flächen ( F ) einer geometrischen Figur basiert . Diese durch C = V - E + F gegebene Zahl ist für alle Figuren gleich, deren Grenzen sich aus der gleichen Anzahl verbundener Teile zusammensetzen (dh die Grenze eines Kreises oder der Acht besteht aus einem Stück, die einer Unterlegscheibe , zwei).

Für alle einfachen Polygone (dh ohne Löcher) ist die Euler-Charakteristik gleich eins. Dies kann für eine allgemeine Figur durch den Triangulationsprozess demonstriert werden, bei dem Hilfslinien gezeichnet werden, die Eckpunkte verbinden, so dass der Bereich in Dreiecke unterteilt wird ( siehe Abbildung oben). Die Dreiecke werden dann einzeln von außen nach innen entfernt, bis nur noch eines übrig ist, dessen Eulerkennlinie leicht auf eins berechnet werden kann. Es kann beobachtet werden, dass dieser Prozess des Hinzufügens und Entfernens von Linien die Euler-Charakteristik der ursprünglichen Figur nicht verändert und daher auch gleich eins sein muss.

Für jedes einfache Polyeder (in drei Dimensionen) beträgt die Euler-Charakteristik zwei, wie durch Entfernen einer Fläche und „Strecken“ der verbleibenden Figur auf eine Ebene gesehen werden kann, was zu einem Polygon mit einer Euler-Charakteristik von eins führt ( siehe Abbildung , Unterseite). Das Hinzufügen des fehlenden Gesichts ergibt eine Euler-Eigenschaft von zwei.

Bei Figuren mit Löchern ist die Euler-Charakteristik um die Anzahl der vorhandenen Löcher geringer ( siehe Abbildung rechts), da jedes Loch als „fehlende“ Fläche betrachtet werden kann.

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In der algebraischen Topologie gibt es eine allgemeinere Formel namens Euler-Poincaré-Formel, die Begriffe enthält, die der Anzahl der Komponenten in jeder Dimension entsprechen, sowie Begriffe (Betti-Zahlen genannt), die von den Homologiegruppen abgeleitet sind, die nur von der Topologie der Figur abhängen .

Das Euler-Merkmal, benannt nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler aus dem 18. Jahrhundert , kann verwendet werden, um zu zeigen, dass es nur fünf reguläre Polyeder gibt, die sogenannten platonischen Körper.