Mathematik

Zahlentheorie - Euklid

Euklid

Im Gegensatz dazu präsentierte Euklid die Zahlentheorie ohne die Schnörkel. Er begann Buch VII von ihmElemente durch Definieren einer Zahl als "eine Vielzahl von Einheiten". Der Plural schloss hier 1 aus; für Euklid war 2 die kleinste „Zahl“. Er definierte später einePrimzahl als Zahl "gemessen von einer Einheit allein" (dh deren einziger richtiger Teiler 1 ist), eine Zusammensetzung als Zahl, die keine Primzahl ist, und eine perfekte Zahl als eine Zahl , die der Summe ihrer "Teile" entspricht (dh seine richtigen Teiler).

Von dort aus bewies Euklid eine Folge von Theoremen, die den Beginn der Zahlentheorie als mathematisches (im Gegensatz zu einem numerologischen) Unternehmen markiert. Vier euklidische Sätze verdienen besondere Erwähnung.

Der erste, Satz 2 von Buch VII, ist ein Verfahren zum Auffinden der größter gemeinsamer Teiler zweier ganzer Zahlen. Dieses fundamentale Ergebnis heißt jetzt dasEuklidischer Algorithmus zu seinen Ehren.

Zweitens gab Euklid eine Version des sogenannten einzigartigen Faktorisierungssatzes oder des Grundsatz der Arithmetik . Dies besagt, dass jede ganze Zahl auf eine und nur eine Weise in das Produkt der Primzahlen einbezogen werden kann. Zum Beispiel ist 1.960 = 2 × 2 × 2 × 5 × 7 × 7 eine Zerlegung in Primfaktoren, und es gibt keine andere solche Zerlegung. Euklids Diskussion über die einzigartige Faktorisierung ist nach modernen Maßstäben nicht zufriedenstellend, aber ihre Essenz findet sich in Satz 32 von Buch VII und Satz 14 von Buch IX.

Drittens zeigte Euklid, dass keine endliche Sammlung von Primzahlen sie alle enthält. Sein Argument, Satz 20 von Buch IX, bleibt einer der elegantesten Beweise in der gesamten Mathematik . Beginnend mit einer endlichen Sammlung von Primzahlen - sagen wir a , b , c , ..., n - betrachtete Euklid die Zahl, die durch Hinzufügen einer Eins zu ihrem Produkt gebildet wurde: N = ( a b cn ) + 1. Anschließend untersuchte er die beiden Alternativen ::

(1) Wenn N eine Primzahl ist, dann ist es eine neue Primzahl, nicht unter a , b , c ,…, n, weil sie größer als alle diese ist. Wenn beispielsweise die ursprünglichen Primzahlen 2, 3 und 7 waren, ist N = (2 × 3 × 7) + 1 = 43 eine größere Primzahl. (2) Wenn N zusammengesetzt ist, muss es alternativ einen Primfaktor haben, der, wie Euklid gezeigt hat, nicht eines der Originale sein kann. Beginnen Sie zur Veranschaulichung mit den Primzahlen 2, 7 und 11, so dass N = (2 × 7 × 11) + 1 = 155. Dies ist zusammengesetzt, aber die Primfaktoren 5 und 31 erscheinen nicht unter den Originalen. So oder so, eine endliche Mengevon Primzahlen kann immer erweitert werden. Aus dieser schönen Logik folgt, dass die Sammlung von Primzahlen unendlich ist .

Viertens beendete Euklid Buch IX mit einem Blockbuster: Wenn die Reihe 1 + 2 + 4 + 8 +… + 2 k zu einer Primzahl summiert, muss die Zahl N = 2 k (1 + 2 + 4 +… + 2 k ) sein sei perfekt. Zum Beispiel ist 1 + 2 + 4 = 7, eine Primzahl, also ist 4 (1 + 2 + 4) = 28 perfekt. Euklids "Rezept" fürPerfekte Zahlen waren eine beeindruckende Leistung für ihren Tag.

Diophantus

Besonders hervorzuheben ist der spätere griechische Mathematiker Diophantus von Alexandria (blühte um 250), Autor vonArithmetica . Dieses Buch enthält eine Reihe von Problemen, von denen die wichtigsten genannt werdenDiophantinische Gleichungen . Dies sind Gleichungen, derenLösungen müssen ganze Zahlen sein. Zum Beispiel bat Diophantus um zwei Zahlen, eine ein Quadrat und eine Würfel, so dass die Summe ihrer Quadrate selbst ein Quadrat ist. In modernen Symbolen suchte er ganze Zahlen x , y und z, so dass ( x 2 ) 2 + ( y 3 ) 2 = z 2 . Es ist leicht, reelle Zahlen zu finden, die diese Beziehung erfüllen (z. B. x = Quadratwurzel von 2 , y = 1 und z = Quadratwurzel von 5)), aber die Anforderung, dass Lösungen ganze Zahlen sein müssen, erschwert das Problem. (Eine Antwort ist x = 6, y = 3 und z = 45.) Diophantus 'Arbeit beeinflusste die spätere Mathematik stark.

Zahlentheorie im Osten

Das Jahrtausend nach dem Niedergang Roms brachte keine bedeutenden europäischen Fortschritte, aber chinesische und indische Gelehrte leisteten ihre eigenen Beiträge zur Zahlentheorie. Motiviert durch Fragen der Astronomie und des Kalenders, dieChinesischer MathematikerSun Zi (Sun Tzu; blühte um 250 ce ) befasste sich mit mehreren diophantinischen Gleichungen. Als ein Beispiel bat er um eine ganze Zahl, die, wenn sie durch 3 geteilt wird, einen Rest von 2 hinterlässt, wenn sie durch 5 geteilt wird, einen Rest von 3 hinterlässt und wenn sie durch 7 geteilt wird, einen Rest von 2 hinterlässt (seine Antwort: 23). Fast tausend Jahre späterQin Jiushao (1202–61) gab ein allgemeines Verfahren zur Lösung solcher Probleme an , das heute als chinesischer Restsatz bekannt ist.

Inzwischen, Indische Mathematiker arbeiteten hart. Im 7. JahrhundertBrahmagupta nahm das auf, was jetzt (fälschlicherweise) das genannt wirdPell-Gleichung. Er stellte die Herausforderung, ein perfektes Quadrat zu finden, das, wenn es mit 92 multipliziert und um 1 erhöht wird, ein weiteres perfektes Quadrat ergibt. Das heißt, er suchte ganze Zahlen x und y so, dass 92 x 2 + 1 = y 2 - eine diophantinische Gleichung mit quadratischen Termen. Brahmagupta schlug vor, dass jeder, der dieses Problem innerhalb eines Jahres lösen könnte, das Recht erhielt, als Mathematiker bezeichnet zu werden. Seine Lösung war x = 120 und y = 1.151.

Darüber hinaus entwickelten indische Wissenschaftler die sogenannten Hindu-arabische Ziffern - die Basis-10-Notation, die später von den mathematischen und zivilen Gemeinschaften der Welt übernommen wurde ( siehe Ziffern und Zahlensysteme ). Obwohl diese Zahlen mehr Zahlen darstellen als die Zahlentheorie, haben sie sich aufgrund ihrer Einfachheit und Benutzerfreundlichkeit durchgesetzt. Die Indianer setzten dieses System - einschließlich der Null - bereits 800 ce ein .

Ungefähr zu dieser Zeit wurde die Die islamische Welt wurde zu einem mathematischen Kraftwerk. An Handelsrouten zwischen Ost und West gelegen, nahmen islamische Gelehrte die Werke anderer Zivilisationen auf und erweiterten diese mit einheimischen Errungenschaften. Zum Beispiel,Thabit ibn Qurrah (im 9. Jahrhundert in Bagdad tätig) kehrte zum griechischen Problem von zurückamicable numbers and discovered a second pair: 17,296 and 18,416.

Modern number theory

As mathematics filtered from the Islamic world to Renaissance Europe, number theory received little serious attention. The period from 1400 to 1650 saw important advances in geometry, algebra, and probability, not to mention the discovery of both logarithms and analytic geometry. But number theory was regarded as a minor subject, largely of recreational interest.