Mathematik

geschätzte Regressionsgleichung | Definition, Beispiel & Fakten.

Geschätzte Regressionsgleichung in der Statistik eine Gleichung, die zur Modellierung der Beziehung zwischen abhängigen und unabhängigen Variablen erstellt wurde.

Zunächst wird entweder ein einfaches oder ein mehrfaches Regressionsmodell als Hypothese bezüglich der Beziehung zwischen abhängigen und unabhängigen Variablen aufgestellt. DasMethode der kleinsten Quadrate ist das am weitesten verbreitete Verfahren für die Schätzungen der Modellentwicklungsparameter . Für eine einfache lineare Regression werden die Schätzungen der kleinsten Quadrate der Modellparameter β 0 und β 1 mit b 0 und b 1 bezeichnet . Unter Verwendung dieser Schätzungen wird eine geschätzte Regressionsgleichung konstruiert: ŷ = b 0 + b 1 x . Der Graph der geschätzten Regressionsgleichung für die einfache lineare Regression ist eine geradlinige Annäherung an die Beziehung zwischen y und x .

Angenommen, ein Universitätsklinikum untersucht zur Veranschaulichung der Regressionsanalyse und der Methode der kleinsten Quadrate die Beziehung zwischen Stress und Blutdruck . Angenommen, für eine Stichprobe von 20 Patienten wurden sowohl ein Stresstest-Score als auch ein Blutdruckwert aufgezeichnet. Die Daten sind in der Abbildung grafisch dargestellt und werden als Streudiagramm bezeichnet. Die Werte der unabhängigen Variablen, Stresstest-Punktzahl, sind auf der horizontalen Achse angegeben, und die Werte der abhängigen Variablen, Blutdruck, sind auf der vertikalen Achse angegeben. Die Linie, die durch die Datenpunkte verläuft, ist der Graph der geschätzten Regressionsgleichung: ŷ = 42,3 + 0,49 x . Der Parameter schätzt, b 0= 42,3 und b 1 = 0,49 wurden unter Verwendung der Methode der kleinsten Quadrate erhalten.

Eine primäre Verwendung der geschätzten Regressionsgleichung besteht darin, den Wert der abhängigen Variablen vorherzusagen, wenn Werte für die unabhängigen Variablen angegeben werden. Beispielsweise beträgt bei einem Patienten mit einem Stresstestwert von 60 der vorhergesagte Blutdruck 42,3 + 0,49 (60) = 71,7. Die durch die geschätzte Regressionsgleichung vorhergesagten Werte sind die Punkte auf der Linie in der Figur , und die tatsächlichen Blutdruckwerte werden durch die über die Linie verstreuten Punkte dargestellt. Die Differenz zwischen dem beobachteten Wert von y und dem Wert von y , der durch die geschätzte Regressionsgleichung vorhergesagt wird, wird als Residuum bezeichnet. Die Methode der kleinsten Quadrate wählt die Parameterschätzungen so aus, dass die Summe der quadratischen Residuen minimiert wird.

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