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Elliptische Gleichung | Mathematik

Elliptische Gleichung , eine aus einer Klasse von partiellen Differentialgleichungen, die Phänomene beschreibt, die sich nicht von Moment zu Moment ändern, wie wenn ein Wärme- oder Flüssigkeitsfluss in einem Medium ohne Akkumulationen stattfindet. DasLaplace - Gleichung , u x x + u y y = 0, ist die einfachste solchen Gleichung , um diesen Zustand in zwei Dimensionen. Zusätzlich zur Erfüllung einer Differentialgleichung innerhalb der Region wird die elliptische Gleichung auch durch ihre Werte (Grenzwerte) entlang der Grenze der Region bestimmt, die den Effekt von außerhalb der Region darstellen. Diese Bedingungen können entweder die einer festen Temperaturverteilung an Grenzpunkten sein (Dirichlet-Problem ) oder solche, bei denen Wärme über die Grenze so zugeführt oder abgeführt wird, dass eine konstante Temperaturverteilung im gesamten (Neumann-Problem).

Wenn die Terme höchster Ordnung einer partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten linear sind und wenn die Koeffizienten a , b , c der Terme u x x , u x y , u y y die Ungleichung b 2 - 4 a erfüllen c <0, dann kann durch eine Änderung der Koordinaten der Hauptteil (Terme höchster Ordnung) als Laplace- U x x + u y y geschrieben werden . Weil die Eigenschaften eines physikalischen Systems unabhängig von der sindKoordinatensystem verwendet , um das Problem zu formulieren, wird erwartet , dass die Eigenschaften der Lösungen dieser elliptischen Gleichungen auf die Eigenschaften der Lösungen der Laplace-Gleichung ähnlich sein sollen ( siehe harmonische Funktion ). Wenn die Koeffizienten a , b und c nicht konstant sind, sondern von x und y abhängen , wird die Gleichung in einem gegebenen Bereich als elliptisch bezeichnet, wenn b 2 - 4 a c <0 an allen Punkten in dem Bereich ist. Die Funktionen x 2 - y 2 und e x cos y erfüllen die Laplace-Gleichung, aber die Lösungen für diese Gleichung sind normalerweise aufgrund der Randbedingungen, die ebenfalls erfüllt sein müssen, komplizierter.