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Ellipse | Mathematik

Ellipse , eine geschlossene Kurve , der Schnittpunkt eines rechten Kreiskegels ( siehe Kegel) und einer Ebene, die nicht parallel zur Basis, zur Achse oder zu einem Element des Kegels ist. Es kann als der Weg eines Punktes definiert werden, der sich in einer Ebene bewegt, so dass das Verhältnis seiner Abstände von einem festen Punkt (derFokus ) und eine feste gerade Linie (diedirectrix ) ist eine Konstante kleiner als eins. Jeder solche Pfad hat dieselbe Eigenschaft in Bezug auf einen zweiten festen Punkt und eine zweite feste Linie, und Ellipsen werden oft als zwei Brennpunkte und zwei Direktachsen angesehen. Das Verhältnis der Entfernungen, genanntExzentrizität ist die Diskriminante ( siehe eine allgemeine Gleichung, die alle Kegelschnitte darstellt [ siehe Kegelschnitt]). Eine andere Definition einer Ellipse ist, dass es sich um den Ort von Punkten handelt, für die die Summe ihrer Abstände von zwei festen Punkten (den Brennpunkten) konstant ist. Je kleiner der Abstand zwischen den Brennpunkten ist, desto kleiner ist die Exzentrizität und desto ähnlicher ähnelt die Ellipse einem Kreis .

Eine gerade Linie, die durch die Brennpunkte gezogen und in beide Richtungen zur Kurve verlängert wird, ist der Hauptdurchmesser (oder Hauptachse) der Ellipse. Senkrecht zur Hauptachse durch das Zentrum, an dem Punkt auf der Hauptachse, der gleich weit von den Brennpunkten entfernt ist, befindet sich dieNebenachse. Eine Linie, die durch einen der Fokus parallel zur Nebenachse gezogen wird, ist alatus rectum (wörtlich „gerade Seite“).

Die Ellipse ist um beide Achsen symmetrisch. Wenn die Kurve um eine der Achsen gedreht wird, bildet sie die Oberfläche, die als Rotationsellipsoid ( siehe auch ) bezeichnet wird, oder ein Sphäroid.

Der Weg eines Himmelskörpers, der sich gemäß dem Newtonschen Gravitationsgesetz in einer geschlossenen Umlaufbahn um einen anderen bewegt, ist eine Ellipse ( siehe Keplers Gesetze der Planetenbewegung). Im Sonnensystem ist ein Schwerpunkt eines solchen Weges um die Sonne die Sonne selbst.

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Für eine Ellipse, deren Mittelpunkt am Ursprung liegt und deren Achsen mit den x- und y- Achsen zusammenfallen, lautet die Gleichung x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1. Die Länge des Hauptdurchmessers beträgt 2 ein; Die Länge des kleinen Durchmessers beträgt 2 b. Wenn c als Abstand vom Ursprung zum Fokus genommen wird, dann ist c 2 = a 2 - b 2und die Brennpunkte der Kurve können lokalisiert sein, wenn der Haupt- und der Nebendurchmesser bekannt sind. Das Problem, einen genauen Ausdruck für den Umfang einer Ellipse zu finden, führte zur Entwicklung elliptischer Funktionen, einem wichtigen Thema in Mathematik und Physik.