Mathematik

Elementare Algebra

Elementaralgebra , Zweig der Mathematik , der sich mit den allgemeinen Eigenschaften von Zahlen und den Beziehungen zwischen ihnen befasst. Algebra ist nicht nur für alle weiteren Mathematik- und Statistikwissenschaften von grundlegender Bedeutung, sondern auch für die Naturwissenschaften, Informatik , Wirtschaft und Wirtschaft. Neben dem Schreiben ist es ein Eckpfeiler der modernen wissenschaftlichen und technologischen Zivilisation. Frühere Zivilisationen - babylonische, griechische, indische, chinesische und islamische - trugen alle auf wichtige Weise zur Entwicklung der Elementaralgebra bei. Es war jedoch der Renaissance Europas überlassen, ein effizientes System zur Repräsentation aller zu entwickelnreelle Zahlen und eine Symbolik für die Darstellung von Unbekannten, Beziehungen zwischen ihnen und Operationen.

Die Elementaralgebra befasst sich mit folgenden Themen:

  1. Reelle und komplexe Zahlen , Konstanten und Variablen - zusammen als algebraische Größen bezeichnet.
  2. Betriebsregeln für solche Mengen.
  3. Geometrische Darstellungen solcher Größen.
  4. Bildung von Ausdrücken mit algebraischen Größen.
  5. Regeln zum Manipulieren solcher Ausdrücke.
  6. Bildung von Sätzen, auch Gleichungen genannt, mit algebraischen Ausdrücken.
  7. Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen.

Algebraische Größen

Das Hauptunterscheidungsmerkmal der Algebra ist die Verwendung einfacher Symbole zur Darstellung numerischer Größen und mathematischer Operationen. Nach einem System, das vom französischen Denker René Descartes aus dem 17. Jahrhundert stammt , repräsentieren Buchstaben am Anfang des Alphabets ( a , b , c ,…) typischerweise bekannte, aber willkürliche Zahlen in einem Problem, während Buchstaben am Ende des Das Alphabet, insbesondere x , y und z , repräsentiert unbekannte Größen oder Variablen. Die Zeichen + und - zeigen die Addition und Subtraktion dieser Größen an, aber die Multiplikation wird einfach durch benachbarte Buchstaben angezeigt . Somit ist ein xrepräsentiert das Produkt von a durch x . Dieser einfache Ausdruck kann zum Beispiel als die Zinsen interpretiert werden, die in einem Jahr durch die Summe eines Dollars verdient werden , der mit einer jährlichen Rate von x investiert wird . Es kann auch als die Entfernung interpretiert werden, die ein Auto in einer Stunde mit einer Geschwindigkeit von x Meilen pro Stunde zurücklegt. Diese Flexibilität der Darstellung verleiht der Algebra ihren großen Nutzen.

Ein weiteres Merkmal, das den Bereich algebraischer Anwendungen erheblich erweitert hat, ist die geometrische Darstellung algebraischer Größen. Um beispielsweise die reellen Zahlen darzustellen, wird eine gerade Linie vorgestellt, die in beide Richtungen unendlich ist . Als Ursprung kann ein beliebiger Punkt O gewählt werden, der die Zahl 0 darstellt, und ein anderer beliebiger Punkt U kann rechts von O gewählt werden . Das Segment O U (oder der Punkt U ) repräsentiert dann die Einheitslänge oder die Zahl 1. Der Rest der positiven Zahlen entspricht Vielfachen dieser Einheitslänge - so dass beispielsweise 2 durch ein Segment O V dargestellt wird , doppelt so lang wie O U.und in die gleiche Richtung verlängert. In ähnlicher Weise erstrecken sich die negativen reellen Zahlen auf der linken Seite von O . Eine gerade Linie, deren Punkte somit mit den reellen Zahlen identifiziert werden, heißt aZahlenreihe. Viele frühere Mathematiker erkannten, dass es eine Beziehung zwischen allen Punkten auf einer geraden Linie und allen reellen Zahlen gibt, aber es war der deutsche Mathematiker Richard Dedekind , der dies als Postulat in seinen Continuity and Irrational Numbers (1872) explizit machte .

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Im kartesischen Koordinatensystem (benannt nach Descartes) der analytischen Geometrie schneiden sich eine horizontale Zahlenlinie (normalerweise als x- Achse bezeichnet) und eine vertikale Zahlenlinie (die y- Achse) an ihrem gemeinsamen Ursprung rechtwinklig, um Koordinaten für jede Koordinate bereitzustellen Punkt in der Ebene. Beispielsweise wird der Punkt auf einer vertikalen Linie durch ein bestimmtes x auf der x- Achse und auf der horizontalen Linie durch ein y auf der y- Achse durch das Paar reeller Zahlen ( x , y ) dargestellt. Eine ähnliche geometrische Darstellung ( siehe die Abbildung) existiert für die komplexen Zahlen, wobei die horizontale Achse den reellen Zahlen und die vertikale Achse den imaginären Zahlen entspricht (wobei die imaginäre Einheit i gleich der Quadratwurzel von -1 ist). Die algebraische Form komplexer Zahlen ist x + i y , wobei x den Realteil und i y den Imaginärteil darstellt.

Diese Paarung von Raum und Zahl bietet die Möglichkeit, algebraische Ausdrücke oder Funktionen in einer einzelnen Variablen mit geometrischen Objekten in der Ebene wie geraden Linien und Kreisen zu paaren . Das Ergebnis dieser Paarung kann man sich vorstellen als die Grafik ( siehe die Abbildung des Ausdrucks für verschiedene Werte der Variablen).

Algebraische Ausdrücke

Any of the quantities mentioned so far may be combined in expressions according to the usual arithmetic operations of addition, subtraction, and multiplication. Thus, ax + by and axx + bx + c are common algebraic expressions. However, exponential notation is commonly used to avoid repeating the same term in a product, so that one writes x2 for xx and y3 for yyy. (By convention x0 = 1.) Expressions built up in this way from the real and complex numbers, the algebraic quantities a, b, c, …, x, y, z, and the three above operations are called polynomials—a word introduced in the late 16th century by the French mathematician François Viète from the Greek polys (“many”) and the Latin nominem (“name” or “term”). One way of characterizing a polynomial is by the number of different unknown, or variable, quantities in it. Another way of characterizing a polynomial is by its degree. The degree of a polynomial in one unknown is the largest power of the unknown appearing in it. The expressions ax + b, ax2 + bx + c, and ax3 + bx2 + cx + d are general polynomials in one unknown (x) of degrees 1, 2, and 3, respectively. When only one unknown is involved, it does not matter which letter is used for it. One could equally well write the above polynomials as ay + b, az2 + bz + c, and at3 + bt2 + ct + d.

Because some insight into complicated functions can be obtained by approximating them with simpler functions, polynomials of the first degree were investigated early on. In particular, ax + by = c, which represents a straight line, and ax + by + cz = e, which represents a plane in three-dimensional space, were among the first algebraic equations studied.

Polynomials can be combined according to the three arithmetic operations of addition, subtraction, and multiplication, and the result is again a polynomial. To simplify expressions obtained by combining polynomials in this way, one uses the distributive law, as well as the commutative and associative laws for addition and multiplication (see the Common arithmetic propertiestable). Until very recently a major drawback of algebra was the extreme tedium of routine manipulation of polynomials, but now a number of symbolic algebra programs make this work as easy as typing the expressions into a computer.

By extending the operations on polynomials to include division, or ratios of polynomials, one obtains the rational functions. Examples of such rational functions are 2/3x and (a + bx2)/(c + dx2 + ex5). Working with rational functions allows one to introduce the expression 1/x and its powers, 1/x2, 1/x3, … (often written x−1, x−2, x−3, …). When the degree of the numerator of a rational function is at least as large as that of its denominator, it is possible to divide the numerator by the denominator much as one divides one integer by another. In this way one can write any rational function as the sum of a polynomial and a rational function in which the degree of the numerator is less than that of the denominator. For example, (x8x5 + 3x3 + 2)/(x3 − 1) = x5 + 3 + 5/(x3 − 1). Da dieser Prozess den Grad der beteiligten Begriffe verringert, ist er besonders nützlich, um die Werte rationaler Funktionen zu berechnen und sie zu behandeln, wenn sie in der Analysis auftreten .

Lösen algebraische Gleichungen

Für theoretische Arbeiten und Anwendungen muss man oft Zahlen finden, die, wenn sie das Unbekannte ersetzen, ein bestimmtes Polynom gleich Null machen. Eine solche Zahl heißt „root” of the polynomial. For example, the polynomial −16t2 + 88t + 48 represents the height above Earth at t seconds of a projectile thrown straight up at 88 feet per second from the top of a tower 48 feet high. (The 16 in the formula comes from one-half the acceleration of gravity, 32 feet per second per second.) By setting the equation equal to zero and factoring it as (4t − 24)(−4t − 2) = 0, the equation’s one positive root is found to be 6, meaning that the object will hit the ground about 6 seconds after it is thrown. (This problem also illustrates the important algebraic concept of the zero factor property: if ab = 0, then either a = 0 or b = 0.)

The theorem that every polynomial has as many complex roots as its degree is known as the fundamental theorem of algebra and was first proved in 1799 by the German mathematician Carl Friedrich Gauss. Simple formulas exist for finding the roots of the general polynomials of degrees one and two (see the Linear and quadratic formulastable), and much less simple formulas exist for polynomials of degrees three and four. The French mathematician Évariste Galois discovered, shortly before his death in 1832, that no such formula exists for a general polynomial of degree greater than four. Many ways exist, however, of approximating the roots of these polynomials.

Solving systems of algebraic equations

An extension of the study of single equations involves multiple equations that are solved simultaneously—so-called systems of equations. For example, the intersection of two straight lines, ax + by = c and Ax + By = C, can be found algebraically by discovering the values of x and y that simultaneously solve each equation. The earliest systematic development of methods for solving systems of equations occurred in ancient China. An adaptation of a problem from the 1st-century-ad Chinese classic Nine Chapters on the Mathematical Procedures illustrates how such systems arise. Imagine there are two kinds of wheat and that you have four sheaves of the first type and five sheaves of the second type. Although neither of these is enough to produce a bushel of wheat, you can produce a bushel by adding three sheaves of the first type to five of the second type, or you can produce a bushel by adding four sheaves of the first type to two of the second type. What fraction of a bushel of wheat does a sheaf of each type of wheat contain?

Using modern notation, suppose we have two types of wheat, respectively, and x and y represent the number of bushels obtained per sheaf of the first and second types, respectively. Then the problem leads to the system of equations: 3x + 5y = 1 (bushel) 4x + 2y = 1 (bushel)

A simple method for solving such a system is first to solve either equation for one of the variables. For example, solving the second equation for y yields y = 1/2 − 2x. The right side of this equation can then be substituted for y in the first equation (3x + 5y = 1), and then the first equation can be solved to obtain x (= 3/14). Finally, this value of x can be substituted into one of the earlier equations to obtain y (= 1/14). Thus, the first type yields 3/14 bushels per sheaf and the second type yields 1/14. Note that the solution (3/14, 1/14) would be difficult to discern by graphing techniques. In fact, any precise value based on a graphing solution may be only approximate; for example, the point (0.0000001, 0) might look like (0, 0) on a graph, but even such a small difference could have drastic consequences in the real world.

Rather than individually solving each possible system of two equations in two unknowns, the general system can be solved. To return to the general equations given above: ax + by = c Ax + By = C

The solutions are given by x = (BcbC)/(aBAb) and y = (CacA)/(aBAb). Note that the denominator of each solution, (aBAb), is the same. It is called the determinant of the system, and systems in which the denominator is equal to zero have either no solution (in which case the equations represent parallel lines) or infinitely many solutions (in which case the equations represent the same line).

One can generalize simultaneous systems to consider m equations in n unknowns. In this case, one usually uses subscripted letters x1, x2, …, xn for the unknowns and a1, 1, …, a1, n; a2, 1, …, a2, n; …; am, 1, …, am, n for the coefficients of each equation, respectively. When n= 3 man befasst sich mit Ebenen im dreidimensionalen Raum, und für höhere Werte von n handelt man sich mit Hyperebenen in Räumen höherer Dimension. Im Allgemeinen haben n Gleichungen in m Unbekannten unendlich viele Lösungen, wenn m < n ist, und keine Lösungen, wenn m > n ist . Der Fall m = n ist der einzige Fall, in dem es eine eindeutige Lösung geben kann.

Große Gleichungssysteme werden im Allgemeinen mit Matrizen behandelt , insbesondere wie sie auf Computern implementiert sind .