Mathematik

Kegelschnitt | Geometrie

Kegelschnitt , auch als konisches , in der Geometrie, jede Kurve der durch den Schnitt einer Ebene und ein geraden kreisförmigen Kegel . Abhängig vom Winkel der Ebene relativ zum Kegel ist der Schnittpunkt ein Kreis , eine Ellipse , eine Hyperbel oder eine Parabel . Spezielle (entartete) Schnittfälle treten auf, wenn die Ebene nur durch den Scheitelpunkt (der einen einzelnen Punkt erzeugt) oder durch den Scheitelpunkt und einen anderen Punkt auf dem Kegel (der eine gerade Linie oder zwei sich schneidende gerade Linien erzeugt) verläuft. Siehe die Abbildung .

Projektive ZeichnungDie vom Bild in der Realitätsebene (RP) zum Auge des Künstlers gezeichneten Sichtlinien schneiden die Bildebene (PP), um eine projektive oder perspektivische Zeichnung zu bilden.  Die parallel zu PP gezeichnete horizontale Linie entspricht dem Horizont.  Frühe perspektivische Experimentatoren verwendeten manchmal durchscheinendes Papier oder Glas für die Bildebene, auf die sie zeichneten, während sie durch ein kleines Loch schauten, um ihren Fokus ruhig zu halten.
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Die grundlegenden Beschreibungen, aber nicht die Namen der Kegelschnitte lassen sich auf Menaechmus (blühend um 350 v . Chr. ) Zurückführen , einen Schüler sowohl von Platon als auch von Eudoxus von Cnidus .Apollonius von Perga (ca. 262–190 v . Chr. ), Bekannt als „Großer Geometer“, gab den Kegelschnitten ihre Namen und definierte als erster die beiden Zweige der Hyperbel (die den Doppelkegel voraussetzen). Apollonius 'achtbändige Abhandlung über die Kegelschnitte, Conics , ist eines der größten wissenschaftlichen Werke der Antike.

Analytische Definition

Kegel können auch als ebene Kurven beschrieben werden, bei denen es sich um die Pfade (Orte) eines sich bewegenden Punkts handelt, so dass das Verhältnis seiner Entfernung von einem festen Punkt (dem Fokus) zur Entfernung von einer festen Linie (der Geraden) eine Konstante ist, die als Konstante bezeichnet wird das Exzentrizität der Kurve. Wenn die Exzentrizität Null ist, ist die Kurve ein Kreis; wenn gleich eins, eine Parabel; wenn weniger als eins, eine Ellipse; und wenn größer als eins, eine Hyperbel. Siehe die Abbildung .

Jeder Kegelschnitt entspricht dem Graphen einer Polynomgleichung zweiten Grades der Form A x 2 + B y 2 + 2 C x y + 2 D x + 2 E y + F = 0, wobei x und y Variablen sind und A , B , C , D , E und F sind Koeffizienten, die vom jeweiligen Kegel abhängen. Durch eine geeignete Wahl der Koordinatenachsen kann die Gleichung für jeden Kegel auf eine von drei einfachen r-Formen reduziert werden: x2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1, x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1 odery2= 2px, entsprechend einer Ellipse, einer Hyperbel bzw. einer Parabel. (Eine Ellipse mita=bist tatsächlich ein Kreis.) Die weit verbreitete Verwendung von Koordinatensystemen für die algebraische Analyse geometrischer Kurven stammt vonRené Descartes(1596–1650). Siehe Geschichte der Geometrie: Kartesische Geometrie.

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griechische Wurzeln

Die frühe Geschichte der Kegelschnitte ist mit dem Problem verbunden "Den Würfel verdoppeln." Nach Eratosthenes von Cyrene (ca. 276–190 v . Chr. ) Konsultierten die Einwohner von Delos das Orakel von Apollo, um Hilfe bei der Beendigung einer Pest zu erhalten (ca. 430 v . Chr. ), Und wurden angewiesen, Apollo einen neuen Altar mit dem doppelten Volumen des alten Altars zu bauen und mit der gleichen kubischen Form. Verwirrt konsultierten die Delianer Platon, der erklärte: „Das Orakel bedeutete nicht, dass der Gott einen doppelt so großen Altar wollte, sondern dass er die Griechen für ihre Vernachlässigung der Mathematik und ihre Verachtung beschämen wollte, indem er ihnen die Aufgabe stellte für Geometrie. "Hippokrates von Chios (ca. 470–410 v . Chr. ) Entdeckte erstmals, dass das „Delian-Problem“ darauf reduziert werden kann, zwei mittlere Proportionen zwischen a und 2 a (die Volumina der jeweiligen Altäre) zu finden - das heißt, x und y so zu bestimmen, dass a : x = x : y = y : 2 a . Dies entspricht dem gleichzeitigen Lösen von zwei der Gleichungen x 2 = a y , y 2 = 2 a x und x y = 2a 2 , die zwei Parabeln bzw. einer Hyperbel entsprechen. Später zeigte Archimedes (ca. 290–211 v . Chr. ), Wie man mit Kegelschnitten eine Kugel in zwei Segmente mit einem bestimmten Verhältnis unterteilt.

Diocles (c. 200 bc ) zeigte , dass geometrisch-Strahlen beispielsweise von der Sonne , die auf-die Achse eines parallel sind Paraboloid des Drehens (erzeugt durch eine Parabel um ihre Symmetrieachse rotierend) im Brennpunkt zusammentreffen. Archimedes soll diese Eigenschaft genutzt haben, um feindliche Schiffe in Brand zu setzen. Die zentralen Eigenschaften der Ellipse wurden von Anthemius von Tralles, einem der Architekten der Kathedrale Hagia Sophia in Konstantinopel (fertiggestellt 537 n. Chr. ), Zitiert, um sicherzustellen, dass ein Altar den ganzen Tag über vom Sonnenlicht beleuchtet werden kann.

Postgriechische Anwendungen

Kegelschnitte fanden 1609 ihre erste praktische Anwendung außerhalb der Optik, als Johannes Kepler seine erste ableiteteGesetz der Planetenbewegung : Ein Planet bewegt sich in einer Ellipse mit der Sonne in einem Fokus. Galileo Galilei veröffentlichte in seinen Dialogen der beiden neuen Wissenschaften (1638) die erste korrekte Beschreibung des Weges der Projektile - eine Parabel . 1639 initiierte der französische Ingenieur Girard Desargues die Untersuchung der Eigenschaften von Kegeln, die unter Projektionen unveränderlich sind ( siehe projektive Geometrie ). Architekten des 18. Jahrhunderts schufen eine Modeerscheinung fürFlüstergalerien - wie in der US-Hauptstadt und in der St. Paul's Cathedral in London -, in denen ein Flüstern an einem Fokus eines Ellipsoids (eine um eine Achse gedrehte Ellipse) am anderen Fokus zu hören ist, aber nirgendwo anders. Von der allgegenwärtigen parabolischen Satellitenschüssel ( siehe die Abbildung ) auf die Verwendung von Ultraschall in der Lithotripsie , neue Anwendungen für die Kegelschnitte weiterhin gefunden werden.