Chemie

Prinzipien der Physik - Beispiele für die wissenschaftliche Methode

Beispiele für die wissenschaftliche Methode

Heutzutage ist es für Wissenschaftler selbstverständlich, dass jede Messung fehleranfällig ist, so dass Wiederholungen scheinbar des gleichen Experiments zu unterschiedlichen Ergebnissen führen. Im intellektuellen KlimaZu Galileos Zeiten waren seine neuartigen Verfahren jedoch alles andere als überzeugend, als logische Syllogismen, die keine Grauzone zwischen richtig und falsch zuließen, als Mittel zur Ableitung von Schlussfolgerungen akzeptiert wurden. Bei der Beurteilung seiner Arbeit muss man bedenken, dass die Konventionen, die jetzt für die Berichterstattung über wissenschaftliche Ergebnisse akzeptiert werden, lange nach Galileos Zeit übernommen wurden. Wenn er also, wie gesagt, feststellt, dass zwei Objekte, die vom schiefen Turm von Pisa gefallen sind, zusammen mit einer Handbreite zwischen ihnen den Boden erreicht haben, muss nicht gefolgert werden, dass er das Experiment selbst durchgeführt hat oder dass, wenn er es tat, das Ergebnis so perfekt war. Einige dieser Experimente wurden zwar etwas früher (1586) vom flämischen Mathematiker Simon Stevin durchgeführt , aber Galileo idealisierte das Ergebnis. Ein LichtBall und schwerer Ball erreichen nicht zusammen den Boden, und der Unterschied zwischen ihnen ist nicht immer der gleiche, denn es ist unmöglich, das Ideal zu reproduzieren, sie genau im selben Moment fallen zu lassen. Trotzdem war Galileo zufrieden, dass es der Wahrheit näher kam zu sagen, dass sie zusammenfielen, als dass es einen signifikanten Unterschied zwischen ihren Raten gab. Diese Idealisierung unvollkommener Experimente bleibt ein wesentlicher wissenschaftlicher Prozess, obwohl es heutzutage als angemessen angesehen wird, die primären Beobachtungen darzustellen (oder zumindest zur Prüfung zur Verfügung zu haben), damit andere unabhängig beurteilen können, ob sie bereit sind, die Schlussfolgerung des Autors zu akzeptieren, was wäre in einem ideal durchgeführten Experiment beobachtet worden.

Die Prinzipien können veranschaulicht werden, indem mit dem Vorteil moderner Instrumente ein Experiment wie das von Galileo selbst wiederholt wird, nämlich das Messen der Zeit, die ein Ball benötigt, um verschiedene Strecken über einen leicht geneigten Kanal zu rollen. Der folgende Bericht zeigt ein reales Experiment, das in einem sehr einfachen Beispiel zeigen soll, wie der Idealisierungsprozess abläuft und wie die vorläufigen Schlussfolgerungen dann einem gründlicheren Suchtest unterzogen werden können.

Linien mit gleichem Abstand von 6 cm (2,4 Zoll) wurden auf einen Messingkanal geschrieben, und die Kugel wurde mittels einer Karte neben der höchsten Linie in Ruhe gehalten. Ein elektronischer Timer wurde in dem Moment gestartet, in dem die Karte entfernt wurde, und der Timer wurde gestoppt, als der Ball eine der anderen Linien passierte. Sieben Wiederholungen jeden Zeitpunkt zeigten , daß die Messungen typischerweise über einen Bereich verteilt von 1 / 20 einem zweiten, vermutlich wegen der menschlichen Grenzen. In einem solchen Fall, in dem eine Messung durchgeführt wirdZufallsfehler , der Durchschnitt vieler Wiederholungen ergibt eine verbesserte Schätzung dessen, was das Ergebnis wäre, wenn die Quelle des Zufallsfehlers beseitigt würde; Der Faktor, um den die Schätzung verbessert wird, ist ungefähr die Quadratwurzel der Anzahl der Messungen. Darüber hinaus erlaubt die dem deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauss zuzuschreibende Fehlertheorie eine quantitative Abschätzung der Zuverlässigkeit des Ergebnisses, wie in der Tabelle durch das herkömmliche Symbol ± ausgedrückt. Dies bedeutet nicht, dass das erste Ergebnis in Spalte 2 garantiert zwischen 0,671 und 0,685 liegt, sondern dass, wenn diese Bestimmung des Durchschnitts von sieben Messungen viele Male wiederholt würde, etwa zwei Drittel der Bestimmungen innerhalb dieser Grenzen liegen würden .

Die Darstellung von Messungen durch a Die Grafik wie in Abbildung 1 stand Galileo nicht zur Verfügung, wurde jedoch kurz nach seiner Zeit als Folge der Arbeit des französischen Mathematiker-Philosophen René Descartes entwickelt . Die Punkte scheinen nahe an einer Parabel zu liegen, und die gezeichnete Kurve wird durch die Gleichung x = 12 t 2 definiert . Die Passform ist nicht ganz perfekt und es lohnt sich, eine bessere Formel zu finden. Da die Vorgänge zum Starten des Timers beim Entfernen der Karte, damit der Ball rollen kann, und zum Stoppen, wenn der Ball eine Markierung passiert, unterschiedlich sind, besteht die Möglichkeit, dass zusätzlich zum ZufallTiming - Fehler, ein systematischer Fehler wird in jedem gemessenen Wert von t ; das heißt, jede Messung t ist vielleicht als t + t 0 zu interpretieren , wobei t 0 ein noch unbekannter konstanter Zeitsteuerungsfehler ist. Wenn dies so ist, könnte man sehen, ob die gemessenen Zeiten nicht durch x = a t 2 , wobei a eine Konstante ist, sondern durch x = a ( t + t 0 ) 2 mit der Entfernung in Beziehung stehen . Dies kann auch grafisch getestet werden, indem zuerst die Gleichung als neu geschrieben wirdQuadratwurzel von x = Quadratwurzel von a ( t + t 0 ), die besagt, dass die Werte der Quadratwurzel von x gegen die gemessenen Werte von t auf einer geraden Linie liegen sollten. Abbildung 2 bestätigt diese Vorhersage ziemlich genau. Die Linie verläuft nicht durch den Ursprung, sondern schneidet die horizontale Achse bei –0,09 Sekunden. Daraus leitet man ab, dass t 0 = 0,09 Sekunden ist und dass ( t + 0,09) x für alle im Anhang angegebenen Messpaare gleich sein sollteDas Galileo-ExperimentTabelle . Die dritte Spalte zeigt, dass dies sicherlich der Fall ist. In der Tat ist die Konstanz besser als angesichts der geschätzten Fehler zu erwarten gewesen wäre. Dies muss als statistischer Unfall angesehen werden; Dies bedeutet keine größere Sicherheit für die Richtigkeit der Formel, als wenn die Zahlen in der letzten Spalte, wie es sehr gut möglich gewesen wäre, zwischen 0,311 und 0,315 gelegen hätten. Man wäre überrascht, wenn eine Wiederholung des gesamten Experiments erneut zu einem nahezu konstanten Ergebnis führen würde.

Eine mögliche Schlussfolgerung ist also, dass aus irgendeinem Grund - wahrscheinlich aufgrund einer beobachtenden Verzerrung - die gemessenen Zeiten die Echtzeit t , die ein Ball ausgehend von der Ruhe benötigt, um eine Strecke x zurückzulegen, um 0,09 Sekunden unterschätzen . Wenn ja, wäre x unter idealen Bedingungen streng proportional zu t 2 . Weitere Experimente, bei denen der Kanal auf unterschiedliche, aber immer noch sanfte Steigungen eingestellt ist, legen nahe, dass die allgemeine Regel die Form x = a t 2 mit a annimmtproportional zur Steigung. Diese vorläufige Idealisierung der experimentellen Messungen muss möglicherweise im Lichte weiterer Experimente modifiziert oder sogar verworfen werden. Nachdem es nun in mathematische Form gebracht wurde, kann es jedoch mathematisch analysiert werden, um aufzuzeigen, welche Konsequenzen es hat. Dies wird auch Möglichkeiten vorschlagen, es suchender zu testen.

Aus einem Diagramm wie in Abbildung 1 , das zeigt, wie x von t abhängt , kann man das ableiteninstantaneous speed of the ball at any instant. This is the slope of the tangent drawn to the curve at the chosen value of t; at t = 0.6 second, for example, the tangent as drawn describes how x would be related to t for a ball moving at a constant speed of about 14 cm per second. The lower slope before this instant and the higher slope afterward indicate that the ball is steadily accelerating. One could draw tangents at various values of t and come to the conclusion that the instantaneous speed was roughly proportional to the time that had elapsed since the ball began to roll. This procedure, with its inevitable inaccuracies, is rendered unnecessary by applying elementary calculus to the supposed formula. The instantaneous speed v is the derivative of x with respect to t; if

Gleichungen.

The implication that the velocity is strictly proportional to elapsed time is that a graph of v against t would be a straight line through the origin. On any graph of these quantities, whether straight or not, the slope of the tangent at any point shows how velocity is changing with time at that instant; this is the momentane Beschleunigung f . Für einen geradlinigen Graphen von v gegen t sind die Steigung und damit die Beschleunigung jederzeit gleich. Mathematisch ausgedrückt ist f = d v / d t = d 2 x / d t 2 ; im vorliegenden Fall nimmt f den konstanten Wert 2 a an .

The preliminary conclusion, then, is that a ball rolling down a straight slope experiences constant acceleration and that the magnitude of the acceleration is proportional to the slope. It is now possible to test the validity of the conclusion by finding what it predicts for a different experimental arrangement. If possible, an experiment is set up that allows more accurate measurements than those leading to the preliminary inference. Such a test is provided by a ball rolling in a curved channel so that its centre traces out a circular arc of radius r, as in Figure 3. Provided the arc is shallow, the slope at a distance x from its lowest point is very close to x/r, so dass die Beschleunigung des Balls zum niedrigsten Punkt proportional zu x / r ist . Wenn man c einführt, um die Proportionalitätskonstante darzustellen, wird dies als a geschriebenDifferentialgleichung

Gleichung.

Here it is stated that, on a graph showing how x varies with t, the curvature d2x/dt2 is proportional to x and has the opposite sign, as illustrated in Figure 4. As the graph crosses the axis, x and therefore the curvature are zero, and the line is locally straight. This graph represents the oscillations of the ball between extremes of ±A after it has been released from x = A at t = 0. The solution of the differential equation of which the diagram is the graphic representation is

Gleichung.

where ω, called the angular frequency, is written for Square root of(c/r). The ball takes time T = 2π/ω = 2πSquare root of(r/c) to return to its original position of rest, after which the oscillation is repeated indefinitely or until friction brings the ball to rest.

According to this analysis, the period, T, is independent of the Amplitude der Schwingung, und diese ziemlich unerwartete Vorhersage ist eine, die streng getestet werden kann. Anstatt den Ball auf einem gekrümmten Kanal rollen zu lassen, wird derselbe Weg einfacher und genauer realisiert, indem er zum Bob eines einfachen wirdpendulum. To test that the period is independent of amplitude two pendulums may be made as nearly identical as possible, so that they keep in step when swinging with the same amplitude. They are then swung with different amplitudes. It requires considerable care to detect any difference in period unless one amplitude is large, when the period is slightly longer. An observation that very nearly agrees with prediction, but not quite, does not necessarily show the initial supposition to be mistaken. In this case, the differential equation that predicted exact constancy of period was itself an approximation. When it is reformulated with the true expression for the slope replacing x/r, the solution (which involves quite heavy mathematics) shows a variation of period with amplitude that has been rigorously verified. Far from being discredited, the tentative assumption has emerged with enhanced support.

Galileo’s law of acceleration, the physical basis of the expression 2πSquare root of(r/c) for the period, is further strengthened by finding that T varies directly as the square root of r—i.e., the length of the pendulum.

In addition, such measurements allow the value of the constant c to be determined with a high degree of precision, and it is found to coincide with the acceleration g of a freely falling body. In fact, the formula for the period of small oscillations of a simple pendulum of length r, T = 2πSquare root of(r/g), is at the heart of some of the most precise methods for measuring g. This would not have happened unless the scientific community had accepted Galileo’s description of the ideal behaviour and did not expect to be shaken in its belief by small deviations, so long as they could be understood as reflecting inevitable random discrepancies between the ideal and its experimental realization. The development of Die Quantenmechanik im ersten Viertel des 20. Jahrhunderts wurde durch die widerstrebende Annahme angeregt, dass diese Beschreibung bei der Anwendung auf Objekte atomarer Größe systematisch fehlschlug . In diesem Fall ging es nicht wie bei den Variationen der Periode darum, die physikalischen Ideen genauer in die Mathematik zu übersetzen ; Die gesamte physische Basis musste radikal überarbeitet werden. Die früheren Ideen wurden jedoch nicht verworfen - es wurde festgestellt, dass sie in viel zu vielen Anwendungen gut funktionieren, um verworfen zu werden. Was sich herausstellte, war ein klareres Verständnis der Umstände, unter denen ihre absolute Gültigkeit sicher angenommen werden konnte.