Chemie

Grundlagen der Physik - Beispiele für Differentialgleichungen für Felder

Beispiele für Differentialgleichungen für Felder

Kontinuität

Ein inkompressibles Fluid fließt so, dass der Nettofluidfluss in oder aus einem bestimmten Volumen innerhalb des Fluids Null ist. Da die Divergenz eines Vektors den Nettofluss aus einem infinitesimalen Element, geteilt durch das Volumen des Elements, beschreibt, muss der Geschwindigkeitsvektor v in einem inkompressiblen Fluid der Gleichung div v = 0 entsprechen. Wenn das Fluid jedoch komprimierbar ist, und seine Dichte ρ ( r ) ändert sich aufgrund von Druck- oder Temperaturschwankungen mit der Position , der Nettomassenfluss nach außen von einem kleinen Element wird durch div (ρ v ) bestimmt, und dies muss mit der Geschwindigkeit in Beziehung gesetzt werden, mit der die Dichte des Fluids innerhalb verändert sich:

Gleichung.

Diffusion

Ein gelöstes Molekül oder ein kleines Teilchen, das in einer Flüssigkeit suspendiert ist, wird ständig zufällig von Molekülen der Flüssigkeit in ihrer Nachbarschaft getroffen, wodurch es unregelmäßig wandert. Das nennt manBrownsche Bewegung bei Schwebeteilchen. Es ist normalerweise sicher anzunehmen, dass jedes einzelne in einer Wolke ähnlicher Partikel durch Kollisionen aus der Flüssigkeit und nicht durch Wechselwirkung zwischen den Partikeln selbst bewegt wird. Wenn sich eine dichte Wolke allmählich ausbreitet, ähnlich wie ein Tintentropfen in einem Becher Wasser, ist diese diffuse Bewegung die Folge eines zufälligen, unabhängigen Wanderns durch jedes Partikel. Es können zwei Gleichungen geschrieben werden, um das durchschnittliche Verhalten zu beschreiben. Die erste ist eine Kontinuitätsgleichung : Wenn sich n ( r ) Partikel pro Volumeneinheit um den Punkt r befinden und der Partikelfluss über ein Flächenelement durch einen Vektor F beschrieben wird, dh die Anzahl der Teilchen, die die Einheitsfläche senkrecht zu F in Zeiteinheiten kreuzen

Gleichung.

beschreibt die Konservierung von Partikeln. Zweitens,Das Ficksche Gesetz besagt, dass das zufällige Wandern eine durchschnittliche Drift von Partikeln aus Regionen, in denen sie dichter sind, zu Regionen verursacht, in denen sie seltener sind, und dass die mittlere Driftrate proportional zum Dichtegradienten und im entgegengesetzten Sinne zum Gradienten ist:

Gleichung.

wobei D eine Konstante ist - die Diffusionskonstante .

Diese beiden Gleichungen können zu einer Differentialgleichung für die Änderungen kombiniert werden , die n erfahren wird.

Gleichung.

Dies definiert eindeutig, wie sich eine anfängliche Verteilung der Partikel mit der Zeit entwickelt. Somit wird die Ausbreitung eines kleinen Tintentropfens durch die spezielle Lösung ziemlich genau beschrieben,

Gleichung.

wobei C eine Konstante ist, die durch die Gesamtzahl der Partikel im Tintentropfen bestimmt wird. Wenn t zu Beginn des Prozesses sehr klein ist, werden alle Partikel nahe dem Ursprung von r geclustert , aber wenn t zunimmt, nimmt der Radius des Clusters proportional zur Quadratwurzel der Zeit zu, während die Dichte am Die Mitte fällt ab, wenn die dreifache Leistung erreicht wird, um die Gesamtzahl konstant zu halten. Die Verteilung der Partikel mit Abstand vom Zentrum zu drei verschiedenen Zeiten ist in Abbildung 10 dargestellt. Aus diesem Diagramm kann berechnet werden, welcher Bruch nach einem gewählten Intervall weiter als eine gewählte Entfernung vom Ursprung entfernt ist. Da jedes Teilchen unabhängig vom Rest wandert, ergibt sich außerdem die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelnes Teilchen gleichzeitig weiter wandert. Somit wurde ein Problem in Bezug auf das Verhalten eines einzelnen Teilchens, für das nur eine durchschnittliche Antwort sinnvoll angegeben werden kann, in eine Feldgleichung umgewandelt und rigoros gelöst. Dies ist eine in der Physik weit verbreitete Technik .

Weitere Beispiele für Feldgleichungen

Die Gleichungen, die die Ausbreitung von Wellen beschreiben (elektromagnetische, akustische, tiefe Wasserwellen und Wellen), werden in relevanten Artikeln diskutiert, ebenso wie die Schrödinger-Gleichung für Wahrscheinlichkeitswellen, die das Teilchenverhalten in der Quantenmechanik regelt ( siehe unten Grundlegende Bestandteile der Materie ). Die Feldgleichungen, die die spezielle Relativitätstheorie verkörpern, sind ausgefeilter, wobei Raum- und Zeitkoordinaten nicht mehr unabhängig voneinander sind, obwohl die betreffende Geometrie immer noch euklidisch ist. In der allgemeinen Relativitätstheorie ist die Geometrie dieser vierdimensionalen Raumzeit nichteuklidisch ( siehe Relativitätstheorie)).