Verschiedenes

Euklids Windmühle

Das Der Satz von Pythagoras besagt, dass die Summe der Quadrate auf den Beinen eines rechtwinkligen Dreiecks gleich dem Quadrat auf der Hypotenuse ist (die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite) - in der bekannten algebraischen Notation a 2 + b 2 = c 2 . Die Babylonier und Ägypter hatten einige ganzzahlige Tripel ( a , b , c ) gefunden, die die Beziehung befriedigten. Pythagoras (ca. 580 - ca. 500 v . Chr. ) Oder einer seiner Anhänger haben möglicherweise als erster den Satz bewiesen, der seinen Namen trägt.Euklid (ca. 300 v . Chr. ) Bietete eine kluge Demonstration des Satzes von Pythagoras in seinemElemente , bekannt als Windmühlenbeweis aus der Form der Figur.

  1. Zeichnen Quadrate auf den Seiten des rechten Δ A B C .
  2. B C H und A C K sind gerade Linien, weil ∠ A C B = 90 °.
  3. E A B = ∠ C A I = 90 °, konstruktionsbedingt.
  4. B A I = ∠ B A C + ∠ C A I = ∠ B A C + ∠ E A B = ∠ E A C , um 3.
  5. A C = A I und A B = A E , konstruktionsbedingt.
  6. Daher ist Δ B A I ≅ Δ E A C nach dem Seitenwinkel-Seiten-Theorem (siehe Seitenleiste: Die Brücke der Esel ), wie in Teil (a) der Figur hervorgehoben.
  7. Zeichne C F parallelen B D .
  8. Rechteck A G F E = 2Δ A C E . Dieses bemerkenswerte Ergebnis ergibt sich aus zwei vorläufigen Theoremen: (a) Die Flächen aller Dreiecke auf derselben Basis, deren dritter Scheitelpunkt irgendwo auf einer unbegrenzt verlängerten Linie parallel zur Basis liegt, sind gleich; und (b) die Fläche eines Dreiecks ist halb so groß wie die eines Parallelogramms (einschließlich eines Rechtecks) mit derselben Basis und Höhe.
  9. Quadrat A I H C = 2 & Dgr; B A I nach demselben Parallelogrammsatz wie in Schritt 8.
  10. Daher ist das Rechteck A G F E = Quadrat A I H C in den Schritten 6, 8 und 9.
  11. D B C = ∠ A B J , wie in den Schritten 3 und 4.
  12. B C = B J und B D = A B , konstruktionsbedingt wie in Schritt 5.
  13. Δ C B D ≅ Δ J B A , wie in Schritt 6 und in Teil (b) der Figur hervorgehoben.
  14. Rechteck B D F G = 2 & Dgr; C B D , wie in Schritt 8.
  15. Quadrat C K J B = 2 & Dgr; J B A , wie in Schritt 9.
  16. Daher ist das Rechteck B D F G = Quadrat C K J B wie in Schritt 10.
  17. Quadrat A B D E = Rechteck A G F E + Rechteck B D F G , konstruktionsbedingt.
  18. Daher ist das Quadrat A B D E = das Quadrat A I H C + das Quadrat C K J B in den Schritten 10 und 16.

Das erste Buch von Euklids Elementenbeginnt mit der Definition eines Punktes und endet mit dem Satz von Pythagoras und seiner Umkehrung (wenn die Summe der Quadrate auf zwei Seiten eines Dreiecks gleich dem Quadrat auf der dritten Seite ist, muss es ein rechtwinkliges Dreieck sein). Diese Reise von einer bestimmten Definition zu einer abstrakten und universellen mathematischen Aussage wurde als Sinnbild für die Entwicklung des zivilisierten Lebens angesehen. Ein eindrucksvolles Beispiel für die Identifizierung von Euklids Argumentation mit dem höchsten Ausdruck des Denkens war der Vorschlag eines deutschen Physikers und Astronomen aus dem Jahr 1821, ein Gespräch mit den Bewohnern des Mars zu eröffnen, indem er ihnen unsere Ansprüche auf geistige Reife zeigte. Alles, was wir tun mussten, um ihr Interesse und ihre Zustimmung zu wecken, war, große Felder in Form des Windmühlendiagramms zu pflügen und zu pflanzen oder, wie andere vorschlugen, Um Kanäle zu graben, die an den Satz von Pythagoras in Sibirien oder der Sahara erinnern, füllen Sie sie mit Öl, setzen Sie sie in Brand und warten Sie auf eine Antwort. Das Experiment wurde nicht versucht, so dass nicht entschieden werden konnte, ob die Bewohner des Mars kein Teleskop, keine Geometrie oder keine Existenz haben.

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