Verschiedenes

Albert Einstein über Raum-Zeit - Euklidische Geometrie

Euklidische Geometrie

Wenn wir die euklidische Geometrie betrachten , erkennen wir deutlich, dass sie sich auf die Gesetze bezieht, die die Positionen starrer Körper regeln. Es stellt sich den genialen Gedanken der Rückverfolgung alle Beziehungen in Bezug auf Körper und ihre relativen Positionen auf den sehr einfache Konzept „Abstand“ (zur Berücksichtigung Strecke ). Abstand bezeichnet einen starren Körper, auf dem zwei Materialpunkte (Markierungen) angegeben wurden. Das Konzept der Gleichheit von Abständen (und Winkeln) bezieht sich auf Experimente mit Zufällen; Gleiches gilt für die Kongruenzsätze. Nun zur euklidischen Geometrie in der Form, in der sie uns von Euklid überliefert wurdeverwendet die Grundbegriffe „gerade Linie“ und „Ebene“, die offenbar nicht oder nicht so direkt mit Erfahrungen über die Position starrer Körper korrespondieren. Hierzu ist zu bemerken, dass das Konzept der geraden Linie auf das der Entfernung reduziert werden kann. 1 Darüber hinaus ging es den Geometrikern weniger darum, das Verhältnis ihrer Grundbegriffe zur Erfahrung herauszustellen, als vielmehr darum, die geometrischen Sätze aus einigen eingangs ausgesprochenen Axiomen logisch abzuleiten.

Lassen Sie uns kurz skizzieren, wie vielleicht die Grundlage der euklidischen Geometrie aus dem Konzept der Distanz gewonnen werden kann.

Wir gehen von der Gleichheit der Entfernungen aus (Axiom der Gleichheit der Entfernungen). Angenommen, von zwei ungleichen Abständen ist einer immer größer als der andere. Für die Ungleichheit der Abstände gelten dieselben Axiome wie für die Ungleichheit der Zahlen.

Bei drei Abständen AB 1 , BC 1 , CA 1 können bei geeigneter Wahl von CA 1 die Markierungen BB 1 , CC 1 , AA 1 so übereinandergelegt werden, dass sich ein Dreieck ABC ergibt. Der Abstand CA 1 hat eine Obergrenze, für die diese Konstruktion noch möglich ist. Die Punkte A, (BB ') und C liegen dann in einer "geraden Linie" (Definition). Dies führt zu den Konzepten: Erzeugen einer Distanz um einen Betrag, der sich selbst entspricht; einen Abstand in gleiche Teile teilen; Ausdrücken eines Abstandes in Form einer Zahl mittels eines Messstabes (Definition des Raumintervalls zwischen zwei Punkten).

Wenn das Konzept des Intervalls zwischen zwei Punkten oder der Länge einer Entfernung auf diese Weise gewonnen wurde, benötigen wir nur das folgende Axiom ( Satz von Pythagoras ), um analytisch zur euklidischen Geometrie zu gelangen.

Jedem Raumpunkt (Bezugskörper) können drei Zahlen (Koordinaten) x, y, z so zugeordnet werden - und umgekehrt -, dass für jedes Paar von Punkten A (x 1 , y 1 , z 1 ) und B (x 2 , y 2 , z 2 ) gilt der Satz:

Maßzahl AB = Quadratwurzel {(x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2 + (z 2 - z 1 ) 2 }.

Auf dieser Basis können dann alle weiteren Konzepte und Sätze der euklidischen Geometrie rein logisch aufgebaut werden, insbesondere auch die Sätze über die Gerade und die Ebene.

Diese Bemerkungen sollen natürlich nicht die streng axiomatische Konstruktion der euklidischen Geometrie ersetzen. Wir wollen lediglich plausibel angeben, wie alle Vorstellungen von Geometrie auf die der Distanz zurückgeführt werden können. Wir hätten genauso gut die gesamte Grundlage der euklidischen Geometrie im letzten Satz oben verkörpern können. Das Verhältnis zu den Grundlagen der Erfahrung würde dann durch einen ergänzenden Satz hergestellt.

Die Koordinate kann und muss so gewählt werden, dass zwei durch gleiche Intervalle getrennte Punktepaare, berechnet mit Hilfe des Satzes von Pythagoras, mit ein und demselben geeignet gewählten Abstand (auf einem Volumenkörper) zusammenfallen.

Die Konzepte und Sätze der euklidischen Geometrie können aus Pythagoras 'Satz ohne Einführung starrer Körper abgeleitet werden; Aber diese Konzepte und Vorschläge hätten dann keine Inhalte, die getestet werden könnten. Sie sind keine „wahren“ Sätze, sondern nur logisch korrekte Sätze rein formalen Inhalts.

Schwierigkeiten

Eine ernsthafte Schwierigkeit tritt bei der oben dargestellten Interpretation der Geometrie insofern auf, als der starre Erfahrungskörper nicht genau mit dem geometrischen Körper übereinstimmt . Wenn ich das sage, denke ich weniger an die Tatsache, dass es keine absolut eindeutigen Merkmale gibt, als dass Temperatur, Druck und andere Umstände die Gesetze in Bezug auf die Position ändern. Es sei auch daran erinnert, dass die von der Physik angenommenen Strukturbestandteile der Materie (wie Atom und Elektron, siehe auch ) im Prinzip nicht den starren Körpern entsprechen, dass jedoch die Konzepte der Geometrie auf sie und ihre Teile angewendet werden. Aus diesem Grund sind konsequente Denker nicht geneigt, reale Tatsachenbestände zuzulassen) nur der Geometrie entsprechen. Sie hielten es für vorzuziehen, den Erfahrungsbestände gemeinsam mit Geometrie und Physik in Einklang zu bringen.

Diese Ansicht ist sicherlich weniger anfällig für Angriffe als die oben dargestellte; Im Gegensatz zur Atomtheorie ist es die einzige, die konsequent durchgeführt werden kann. Dennoch wäre es nach Meinung des Autors nicht ratsam, die erste Sichtweise aufzugeben, aus der die Geometrie ihren Ursprung hat. Diese Verbindung basiert im Wesentlichen auf der Überzeugung, dass der ideale starre Körper eine Abstraktion ist, die gut in den Naturgesetzen verwurzelt ist.