Philosophische Fragen

Mengenlehre - Äquivalente Mengen

Äquivalente Mengen

Die kantorianische Mengenlehre basiert auf den oben beschriebenen Prinzipien der Erweiterung und Abstraktion. Um einige Ergebnisse zu beschreiben, die auf diesen Prinzipien basieren, wird der BegriffDie Äquivalenz von Mengen wird definiert. Die Idee ist, dass zwei Sätze gleichwertig sind, wenn es möglich ist, Mitglieder des ersten Satzes mit Mitgliedern des zweiten Satzes zu koppeln, ohne dass auf beiden Seiten übrig gebliebene Mitglieder vorhanden sind. Um diese Idee in satztheoretischen Begriffen zu erfassen, wird die Menge A genau dann als äquivalent zur Menge B (symbolisiert durch AB ) definiert, wenn es eine dritte Menge gibt, deren Mitglieder geordnete Paare sind, so dass: (1) Das erste Mitglied jedes Paares ist ein Element von A und das zweite ist ein Element von B , und (2) jedes Mitglied von A tritt als erstes Mitglied auf und jedes Mitglied von B tritt als zweites Mitglied von genau einem Paar auf. Also wennA und B sind endlich und AB , dann wird der dritte Satz, der diese Tatsache stellt eine Paarung oder Anpassung der Elemente stellt A mit denen von B . Wenn es umgekehrt möglich ist, die Elemente von A mit denen von B abzugleichen , dann ist AB , weil ein Satz von Paaren gebildet werden kann, die die Anforderungen (1) und (2) erfüllen, dh wenn aA mit b übereinstimmt B , dann das geordnete Paar ( a , b) ist ein Mitglied des Sets. Indem auf diese Weise die Äquivalenz von Mengen im Sinne des Übereinstimmungsbegriffs definiert wird, wird die Äquivalenz unabhängig von der Endlichkeit formuliert. Zur Veranschaulichung unendlicher Mengen kann mit ℕ die Menge der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, ... bezeichnet werden (einige Autoren schließen 0 von den natürlichen Zahlen aus). Dann {( n , n 2 ) | n ∊ ℕ} legt die scheinbar paradoxe Äquivalenz von ℕ und der Teilmenge von ℕ fest, die durch die Quadrate der natürlichen Zahlen gebildet wird.

Wie bereits erwähnt, ist eine Menge B in a enthalten oder ist aTeilmenge von, eine Menge A (symbolisiert durch BA ), wenn jedes Element von B ein Element von A ist . So definiert kann eine Teilmenge möglicherweise alle Elemente von A enthalten , so dass A eine Teilmenge von sich selbst sein kann. Darüber hinaus ist die leere Menge eine Teilmenge jeder Menge, da sie per Definition keine Elemente enthält, die nicht in anderen Mengen enthalten sind.

Wenn jedes Element der Menge B ein Element der Menge A ist, die Umkehrung jedoch falsch ist (daher BA ), wird B als ordnungsgemäß in A enthalten oder als a bezeichnetrichtige Teilmenge von A (symbolisiert durch BA ). Wenn also A = {3, 1, 0, 4, 2} ist, sind sowohl {0, 1, 2} als auch {0, 1, 2, 3, 4} Teilmengen von A ; aber {0, 1, 2, 3, 4} ist keine richtige Teilmenge. Eine endliche Menge ist nicht äquivalent zu jeder ihrer richtigen Teilmengen. Dies gilt jedoch nicht für unendliche Mengen, wie dies mit der Menge ℕ im vorherigen Beispiel dargestellt ist. (Die Äquivalenz von ℕ und seiner richtigen Teilmenge, die durch die Quadrate seiner Elemente gebildet wird, wurde durch notiertGalileo Galilei im Jahr 1638, der zu dem Schluss kam, dass die Begriffe von weniger als, gleich und größer als nicht für unendliche Mengen gelten.)

Kardinalität undtransfinite Zahlen

Die Anwendung des Begriffs der Äquivalenz auf unendliche Mengen wurden zuerst von Cantor systematisch untersucht . Mit ℕ als Menge natürlicher Zahlen definiert, war Cantors erste signifikante Feststellung, dass die Menge aller rationalen Zahlen ℕ entspricht, die Menge aller reellen Zahlen jedoch nicht ℕ entspricht. Die Existenz nichtäquivalenter unendlicher Mengen rechtfertigte Cantors Einführung von „transfiniten“ Kardinalzahlen als Größenmaß für solche Mengen. Cantor definierte den Kardinal einer beliebigen Menge A als das Konzept, das zusammen mit der Gesamtheit anderer äquivalenter Mengen von A abstrahiert werden kann .Gottlob Frege , 1884, undBertrand Russell definierte 1902 beide mathematischen Logiker die KardinalzahlDarstellung der Kardinalzahl.einer Menge A etwas expliziter als die Menge aller Mengen, die A entsprechen . Diese Definition bietet somit einen Platz für Kardinalzahlen als Objekte eines Universums, dessen einzige Mitglieder Mengen sind.

Die obigen Definitionen stimmen mit der Verwendung natürlicher Zahlen als Kardinalzahlen überein. Intuitiv ist eine Kardinalzahl, ob endlich (dh eine natürliche Zahl) oder transfinit (dh nicht endlich), ein Maß für die Größe einer Menge. Wie genau eine Kardinalzahl definiert ist, ist unwichtig. Was wichtig ist, ist dasGleichung.wenn und nur wenn AB .

Um Kardinalzahlen zu vergleichen, muss ein Ordnungsbeziehung (symbolisiert durch <) kann mit Hilfe der Definition eingeführt werdenGleichung.wenn A einer Teilmenge von B entspricht und B keiner Teilmenge von A entspricht . Diese Beziehung ist eindeutig irreflexivGleichung. und transitiv: Gleichung. und Gleichung. implizieren Gleichung..

Bei Anwendung auf natürliche Zahlen, die als Kardinäle verwendet werden, stimmt die Beziehung <(kleiner als) mit der bekannten Ordnungsrelation für ℕ überein, so dass <eine Erweiterung dieser Beziehung ist.

Das Symbol ℵ 0 (aleph-null ) ist Standard für die Kardinalzahl von ℕ (Mengen dieser Kardinalität werden aufgerufendenumerierbar ) und ℵ (aleph ) wird manchmal für die Menge der reellen Zahlen verwendet. Dann ist n <ℵ 0 für jedes n ∊ ℕ und ℵ 0 <ℵ.

Dies ist jedoch nicht das Ende der Angelegenheit. Wenn diePotenzmenge einer Menge A - symbolisiertes P ( A ) - ist definiert als die Menge aller Teilmengen von A , dann, wie Cantor bewiesen hat,Gleichung.für jede Menge A - eine Beziehung, die als bekannt istSatz von Cantor . Es impliziert eine endlose Hierarchie transfiniter Kardinäle:Gleichung.. Cantor hat das bewiesenGleichung.und schlug vor, dass es keine Kardinalzahlen zwischen ℵ 0 und ℵ gibt, eine Vermutung, die als die bekannt istKontinuumshypothese .

Es gibt eine Arithmetik für Kardinalzahlen, die auf natürlichen Definitionen von Addition, Multiplikation und Exponentiation (Quadrieren, Würfeln usw.) basiert. Diese Arithmetik weicht jedoch von der der natürlichen Zahlen ab, wenn transfinite Kardinäle beteiligt sind. Zum Beispiel ist ℵ 0 + ℵ 0 = ℵ 0 (weil die Menge der ganzen Zahlen äquivalent zu ℕ ist), ℵ 0 · ℵ 0 = ℵ 0 (weil die Menge der geordneten Paare natürlicher Zahlen äquivalent zu ℕ ist) und c + ℵ 0 = c für jeden transfiniten Kardinal c (weil jede unendliche Menge eine Teilmenge enthält, die ℕ entspricht).

Die sogenannte Das Cantor-Paradoxon, das 1899 von Cantor selbst entdeckt wurde, ist das folgende. Nach dem uneingeschränkten Prinzip der Abstraktion definiert die Formel „ x ist eine Menge“ eine Menge U ; dh es ist die Menge aller Mengen. Nun P ( U ) ist eine Reihe von Sätzen und so P ( U ) ist eine Teilmenge von U . Nach der Definition von <für Kardinäle ist dies jedoch nicht der Fall , wenn AB istGleichung.. Daher durch Substitution,Gleichung.. Aber nach dem Satz von Cantor,Gleichung.. Dies ist ein Widerspruch. 1901 entwickelte Russell einen weiteren Widerspruch weniger technischer Natur, der heute als bekannt istRussells Paradoxon . Die Formel „ x ist eine Menge und ( xx )“ definiert eine Menge R aller Mengen, die nicht Mitglieder ihrer selbst sind. Verwendung Nachweis durch Widerspruch, jedoch wird es sich leicht zeigen , dass (1) R ε R . Aber dann folgt aus der Definition von R (2) ( RR ). Zusammen bilden (1) und (2) einen Widerspruch.