Philosophische Fragen

Metalogic - Elementare Logik

Elementare Logik

Ein Bereich, der vielleicht von eher philosophischem Interesse ist, ist der der Natur der Elementarlogik selbst. Einerseits scheinen die Vollständigkeitsentdeckungen in gewissem Sinne zu zeigen, dass elementare Logik das ist, was der Logiker natürlich haben möchte. Andererseits neigt er immer noch dazu zu fragen, ob es ein Prinzip der Einzigartigkeit geben könnte, nach dem die elementare Logik die einzige Lösung ist, die bestimmte natürliche Anforderungen an die Logik erfüllt. Die Entwicklung vonDie Modelltheorie hat zu einer allgemeineren Sichtweise geführt, die es dem schwedischen Logiker ermöglichtePer Lindström beweist 1969 einen allgemeinen Satz dahingehend, dass innerhalb einer breiten Klasse möglicher Logiken grob gesagt die Elementarlogik die einzige ist, die die Anforderungen der Axiomatisierbarkeit und des Löwenheim-Skolem-Theorems erfüllt. ObwohlLindströms Theorem lässt sich nicht zufriedenstellend entscheiden, ob elementare Logik die richtige Logik ist oder nicht. Es scheint nahezulegen, dass mathematische Befunde dem Logiker helfen können, seine Konzepte von Logik und Logik zu klären logisch Wahrheit .

Ein besonders nützliches Werkzeug, um aus den gegebenen Modellen einer Theorie neue Modelle zu erhalten, ist die Konstruktion einer speziellen Kombination namens „Ultraprodukt “einer Familie von Strukturen (siehe untenUltrafilter, Ultraprodukte und Ultrapower ) - insbesondere die Ultrapower, wenn die Strukturen alle Kopien derselben Struktur sind (genau wie das Produkt einer 1 , ... ist a n das gleiche wie die Leistung a n , wenn a i = a für jedes i ). Die intuitive Idee bei dieser Methode besteht darin, festzustellen, dass ein Satz im Ultraprodukt genau dann wahr ist, wenn er in „fast allen“ der gegebenen Strukturen wahr ist (dh „fast überall “- eine Idee, die in einer anderen Form in vorhanden war Skolems Konstruktion eines nicht standardmäßigen Rechenmodells im Jahr 1933). Daraus folgt, dass, wenn die gegebenen Strukturen Modelle einer Theorie sind, ihr Ultraprodukt auch ein solches Modell ist, weil jeder Satz in der Theorie überall wahr ist (was ein Sonderfall von „fast überall“ im verwendeten technischen Sinne ist). Ultraprodukte wurden zum Beispiel eingesetzt, um eine Grundlage für das zu schaffen, was als „Nichtstandardanalyse “, die eine eindeutige Interpretation des klassischen Konzepts von ergibtInfinitesimale - die Aufteilung in Einheiten, die so klein sind, wie es einem gefällt. Sie wurden auch von zwei Mathematikern angewendet,James Axe und Simon B. Kochen, zu Problemen im Bereich der Algebra (auf p- adischen Feldern).

Nicht elementare Logik und zukünftige Entwicklungen

Es gibt auch Studien wie Logik zweiter Ordnung undInfinitäre Logik, die die Modelltheorie der nichtelementaren Logik entwickelt. Die Logik zweiter Ordnung enthält zusätzlich zu Variablen, die sich über einzelne Objekte erstrecken, eine zweite Art von Variablen, die sich über Mengen von Objekten erstreckt, so dass das Modell eines Satzes oder einer Theorie zweiter Ordnung über die Basisdomäne hinaus auch eine größere Menge umfasst ( nannte seine “Power Set ”), das alle Teilmengen der Domäne umfasst. Unendliche Logiken können Funktionen oder Beziehungen mit unendlich vielen Argumenten, unendlich langen Konjunktionen und Disjunktionen oder unendlichen Folgen von Quantifizierern enthalten. Aus Studien zur unendlichen Logik,William Hanf, ein amerikanischer Logiker, konnte bestimmte Kardinäle definieren, von denen einige im Zusammenhang mit den großen Kardinälen in der Mengenlehre untersucht wurden . In einer weiteren Richtung entwickeln Logiker Modelltheorien für die Modallogik - jene, die sich mit Modalitäten wie Notwendigkeit und Möglichkeit befassen - und für die intuitionistische Logik.

Es gibt eine große Lücke zwischen der allgemeinen Modelltheorie und der Konstruktion interessanter spezieller Modelle, wie sie zum Nachweis der Unabhängigkeit (und Konsistenz) spezieller Axiome und Hypothesen in der Mengenlehre verwendet werden. Es ist natürlich, nach Weiterentwicklungen der Modelltheorie zu suchen, die systematischere Methoden zur Konstruktion von Axiommodellen mit interessanten besonderen Eigenschaften liefern, insbesondere bei der Entscheidung, ob bestimmte gegebene Sätze von den Axiomen ableitbar sind. In Bezug auf den gegenwärtigen Wissensstand erscheinen solche Ziele ziemlich weit entfernt. Die Lücke ist nicht unähnlich der zwischen der abstrakten Theorie der Computer und den grundlegenden Eigenschaften der tatsächlichen Computer.

Charakterisierungen der Logik erster Ordnung

Es wurde oben ein Beweis für die Vollständigkeit der elementaren Logik skizziert, ohne Sätze zu enthalten, die behaupten Identität . Der Beweis kann jedoch auf ziemlich direkte Weise auf die vollständige elementare Logik ausgedehnt werden. Wenn also F ein Satz ist, der enthältGleichheit kann ein Satz G hinzugefügt werden, der die besonderen Eigenschaften der Identität verkörpert, die für den Satz F relevant sind . Die Konjunktion von F und G kann dann als Satz behandelt werden, der keine Gleichheit enthält (dh "=" kann als beliebiges Beziehungssymbol behandelt werden ). Daher hat die Konjunktion genau dann ein Modell im Sinne von Logik ohne Identität, wenn F ein Modell im Sinne von Logik mit Identität hat; und die Vollständigkeit der elementaren Logik (mit Identität) kann somit abgeleitet werden.

Ein allgemeineres Konzept als Gültigkeit ist die des Verhältnisses von logischFolge oder Implikation zwischen einer möglicherweise unendlichen Menge X von Sätzen und einem einzelnen Satz p , der genau dann gilt, wenn p in jedem Modell von X wahr ist . Insbesondere ist p gültig, wenn die leere Menge, die als keine Mitglieder definiert ist, logisch p beinhaltet - denn dies ist nur eine andere Art zu sagen, dass p in jedem Modell wahr ist. Dies deutet auf eine stärkere Anforderung an ein formales Logiksystem hin, nämlich dass p vom System immer dann von X abgeleitet werden kann, wenn X logisch p beinhaltet. Die üblichen Logiksysteme erfüllen diese Anforderung, da es neben dem Vollständigkeitssatz auch eine gibtKompaktheitssatz:

Eine Theorie X hat ein Modell, wenn jede endliche Teilmenge von X ein Modell hat.

Grob gesagt ermöglicht dieser Satz dem Logiker, eine unendliche Menge X in jedem Einzelfall auf eine endliche Teilmenge X 1 zu reduzieren , und der Fall der Folge, wenn X 1 endlich ist, wird durch die Vollständigkeit des Systems erledigt.

Diese Ergebnisse zeigen , dass die normalen Systeme der elementaren Logik umfassen die richtige Formulierung, mit der Maßgabe , dass die tatsächliche Auswahl der Wahrheitsfunktionen (zB Negation und Disjunktion), der Quantoren und der Gleichheit als „logical constants” is assumed to be the correct one. There remains the question, however, of justifying the particular choice of logical constants. One might ask, for example, whether “For most x” or “For finitely many x” should not also be counted as logical constants. Lindström has formulated a general concept of logic and shown that logics that apparently extend the first-order logic all end up being the same as that logic, provided that they satisfy the Löwenheim-Skolem theorem and either have the compactness property or are formally axiomatizable. There remains the question, however, of whether or why these requirements (especially that of the Löwenheim-Skolem theorem) are intrinsic to the nature of logic.