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Euklid | Biografie, Beiträge und Fakten

Euklid , griechischer Eukleides (blühte um 300 v. Chr. , Alexandria, Ägypten), der bekannteste Mathematiker der griechisch-römischen Antike, bekannt für seine Abhandlung über die Geometrie , die Elemente .

Top Fragen

Wie wurde Euklid berühmt?

Woher kam Euklid?

Leben

Über Euklids Leben ist nichts bekannt außer dem, was der griechische Philosoph Proclus ( ca. 410–485 ce ) berichtet in seiner „Zusammenfassung“ berühmter griechischer Mathematiker. Ihm zufolge lehrte Euklid in Alexandria zur Zeit von Ptolemaios I. Soter , der von 323 bis 285 v . Chr . Über Ägypten regierte . Mittelalterliche Übersetzer und Redakteure verwechselten ihn oft mit dem Philosophen Eukleides von Megara , einem Zeitgenossen Platons vor etwa einem Jahrhundert, und nannten ihn deshalb Megarensis. Proclus unterstützte sein Datum für Euklid, indem er schrieb: „Ptolemaios fragte Euklid einmal, ob es keinen kürzeren Weg zur Geometrie als durch die Elemente gäbeund Euklid antwortete, dass es keinen königlichen Weg zur Geometrie gibt. “ Heute stellen nur wenige Historiker den Konsens in Frage, dass Euklid älter als Archimedes war ( ca. 290–212 / 211 v . Chr. ).

Quellen und Inhalte der Elemente

Euklid stellte seine Elemente aus einer Reihe von Werken früherer Männer zusammen. Darunter befinden sich Hippokrates von Chios (blühte um 440 v. Chr. ), Nicht zu verwechseln mit dem Arzt Hippokrates von Cos ( um 460–375 v. Chr . ). Der neueste Compiler vor Euklid war Theudius, dessen Lehrbuch in der Akademie verwendet wurde und wahrscheinlich von Aristoteles (384–322 v . Chr .) Verwendet wurde). Die älteren Elemente wurden sofort von Euklids abgelöst und dann vergessen. Für sein Thema stützte sich Euklid zweifellos auf alle seine Vorgänger, aber es ist klar, dass das gesamte Design seiner Arbeit sein eigenes war und in der Konstruktion der fünf regulären Körper gipfelte, die heute als platonische Körper bekannt sind .

Eine kurze Übersicht über die Elemente widerlegt die allgemeine Überzeugung, dass es sich nur um sie handeltGeometrie . Dieses Missverständnis kann dadurch verursacht werden, dass nicht weiter als die Bücher I bis IV gelesen werden, die die Geometrie der Elementarebene abdecken. Euklid verstand, dass das Erstellen einer logischen und strengen Geometrie (und Mathematik ) von der Grundlage abhängt - eine Grundlage, die Euklid in Buch I mit 23 Definitionen begann (wie „ein Punkt ist das, was keinen Teil hat“ und „eine Linie ist eine Länge ohne) Breite “), fünf unbewiesene Annahmen, die Euklid Postulate nannte (jetzt bekannt alsAxiome ) und fünf weitere unbewiesene Annahmen, die er als gemeinsame Begriffe bezeichnete. ( Siehe dieTabelle der 10 Anfangsannahmen von Euklid.) Buch I beweist dann Elementarsätze über Dreiecke und Parallelogramme und endet mit demSatz von Pythagoras . (Für Euklids Beweis des Theorems siehe Seitenleiste: Euklids Windmühlenbeweis .)

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Euklids Axiome
1 Bei zwei Punkten gibt es eine gerade Linie, die sie verbindet.
2 Ein gerades Liniensegment kann unbegrenzt verlängert werden.
3 Ein Kreis kann konstruiert werden, wenn ein Punkt für seinen Mittelpunkt und ein Abstand für seinen Radius angegeben werden.
4 Alle rechten Winkel sind gleich.
5 Wenn eine gerade Linie, die auf zwei gerade Linien fällt, die Innenwinkel auf derselben Seite kleiner als zwei rechte Winkel macht, treffen sich die beiden geraden Linien, wenn sie auf unbestimmte Zeit erzeugt werden, auf der Seite, auf der die Winkel kleiner als die beiden rechten Winkel sind.
Euklids gemeinsame Vorstellungen
6 Dinge, die gleich sind, sind gleich.
7 Wenn Gleiche zu Gleichen addiert werden, sind die Ganzen gleich.
8 Wenn Gleiche von Gleichen abgezogen werden, sind die Reste gleich.
9 Dinge, die miteinander übereinstimmen, sind gleich.
10 Das Ganze ist größer als ein Teil.

Das Thema von Buch II wurde genannt geometric algebra because it states algebraic identities as theorems about equivalent geometric figures. Book II contains a construction of “the section,” the division of a line into two parts such that the ratio of the larger to the smaller segment is equal to the ratio of the original line to the larger segment. (This division was renamed the golden section in the Renaissance after artists and architects rediscovered its pleasing proportions.) Book II also generalizes the Pythagorean theorem to arbitrary triangles, a result that is equivalent to the law of cosines (see plane trigonometry). Book III deals with properties of circles and Book IV with the construction of regular polygons, in particular the pentagon.

Book V shifts from plane geometry to expound a general theory of ratios and proportions that is attributed by Proclus (along with Book XII) to Eudoxus of Cnidus (c. 395/390–342/337 bce). While Book V can be read independently of the rest of the Elements, its solution to the problem of incommensurables (irrational numbers) is essential to later books. In addition, it formed the foundation for a geometric theory of numbers until an analytic theory developed in the late 19th century. Book VI applies this theory of ratios to plane geometry, mainly triangles and parallelograms, culminating in the “application of areas,” a procedure for solving quadratic problems by geometric means.

Books VII–IX contain elements of number theory, where number (arithmos) means positive integers greater than 1. Beginning with 22 new definitions—such as unity, even, odd, and prime—these books develop various properties of the positive integers. For instance, Book VII describes a method, antanaresis (now known as the Euclidean algorithm), for finding the greatest common divisor of two or more numbers; Book VIII examines numbers in continued proportions, now known as geometric sequences (such as ax, ax2, ax3, ax4…); and Book IX proves that there are an infinite number of primes.

According to Proclus, Books X and XIII incorporate the work of the Pythagorean Theaetetus (c. 417–369 bce). Book X, which comprises roughly one-fourth of the Elements, seems disproportionate to the importance of its classification of incommensurable lines and areas (although study of this book would inspire Johannes Kepler [1571–1630] in his search for a cosmological model).

Books XI–XIII examine three-dimensional figures, in Greek stereometria. Book XI concerns the intersections of planes, lines, and parallelepipeds (solids with parallel parallelograms as opposite faces). Book XII applies Eudoxus’s method of exhaustion to prove that the areas of circles are to one another as the squares of their diameters and that the volumes of spheres are to one another as the cubes of their diameters. Book XIII culminates with the construction of the five regular Platonic solids (pyramid, cube, octahedron, dodecahedron, icosahedron) in a given sphere, as displayed in the animation.

The unevenness of the several books and the varied mathematical levels may give the impression that Euclid was but an editor of treatises written by other mathematicians. To some extent this is certainly true, although it is probably impossible to figure out which parts are his own and which were adaptations from his predecessors. Euclid’s contemporaries considered his work final and authoritative; if more was to be said, it had to be as commentaries to the Elements.