Química

Principios de la ciencia física: conceptos fundamentales para las actitudes y métodos de la ciencia física

Conceptos fundamentales de las actitudes y métodos de la ciencia física

Campos

Ley de gravitación de Newton yLa ley electrostática de Coulomb da la fuerza entre dos partículas como inversamente proporcional al cuadrado de su separación y dirigida a lo largo de la línea que las une. losfuerza que actúa sobre una partícula es unavector . Puede representarse mediante una línea con punta de flecha; la longitud de la línea se hace proporcional a la fuerza de la fuerza, y laLa dirección de la flecha muestra la dirección de la fuerza. Si varias partículas actúan simultáneamente sobre la considerada, la fuerza resultante se encuentra poradición de vectores ; los vectores que representan cada fuerza separada se unen de la cabeza a la cola, y la resultante está dada por la línea que une la primera cola con la última cabeza.

En lo que sigue al La fuerza electrostática se tomará como típica y la ley de Coulomb se expresará en la forma F = q 1 q 2 r / 4πε 0 r 3 . Los caracteres en negrita F y r son vectores, siendo F la fuerza quela carga puntual q 1 ejerce sobre otra carga puntual q 2 . La combinación r / r 3 es un vector en la dirección de r , la línea que une q 1 con q 2 , conmagnitud 1 / r 2 como lo requiere elley del cuadrado inverso . Cuando r se representa en lightface, significa simplemente la magnitud del vector r , sin dirección. La combinación 4πε 0 es una constante cuyo valor es irrelevante para la presente discusión. La combinación q 1 r / 4πε 0 r 3 se llamaintensidad del campo eléctrico debido a q 1 a una distancia r de q 1 y se designa por E ; es claramente un vector paralelo a r . En cada punto del espacio, E toma un valor diferente, determinado por r , y la especificación completa de E ( r ), es decir, la magnitud y dirección de E en cada punto r, define el campo eléctrico. Si hay varias cargas fijas diferentes, cada una produce su propio campo eléctrico de carácter inverso al cuadrado, y la resultante Een cualquier punto es la suma vectorial de las contribuciones separadas. Por tanto, la magnitud y la dirección de E pueden cambiar de manera complicada de un punto a otro. Cualquier carga de transporte de partículas q que se coloque en un lugar donde el campo es E experimenta una fuerza q E (siempre que las otras cargas no se desplacen cuando se inserta; si son E ( r ) deben recalcularse para las posiciones reales del cargos).

UNA El campo vectorial , que varía de un punto a otro, no siempre se representa fácilmente mediante un diagrama, y ​​a menudo es útil para este propósito, así como en el análisis matemático, introducir el potencial ϕ, del cual E puede deducirse. Para apreciar su significado, se debe explicar el concepto de gradiente vectorial.

Degradado

Los contornos en un mapa estándar son líneas a lo largo de las cuales la altura del suelo sobre el nivel del mar es constante. Por lo general, adoptan una forma complicada, pero si uno imagina contornos dibujados a intervalos de altura muy cercanos y una pequeña porción del mapa agrandada mucho, los contornos de esta región local se volverán casi rectos, como los dos dibujados en la Figura 6 para las alturas h y h + δ h .

Caminando por cualquiera de estos contornos, uno permanece en el nivel. lospendiente del suelo es más pronunciada a lo largo de P Q , y, si la distancia de P a Q es δ l , el gradiente es δ h / δ l o d h / d l en el límite cuando δ h y δ l se les permite ir a cero. El vector gradiente es un vector de esta magnitud dibujado paralelo a P Q y se escribe como grad h , o ∇ h . Caminando a lo largo de cualquier otra línea P R en un ángulo θ a P Q , la pendiente es menor en la relaciónP Q / P R , o cos θ. La pendiente a lo largo de P R es (grad h ) cos θ y es lacomponente del vector grad h a lo largo de una línea en un ángulo θ al vector mismo. Este es un ejemplo de la regla general para encontrar componentes de vectores. En particular, los componentes paralelos a la x y Y direcciones tener magnitud ∂ h / ∂ x y ∂ h / ∂ y (las derivadas parciales, representadas por el símbolo ∂, media, por ejemplo, que ∂ h / ∂ x es la tasa en el que h cambia con la distancia en la dirección x , si uno se mueve para mantener y constante; y ∂ h / ∂ y es la tasa de cambio en eldirección y , siendo x constante). Este resultado se expresa por

Ecuación.

las cantidades entre paréntesis son los componentes del vector a lo largo de los ejes de coordenadas. Las cantidades vectoriales que varían en tres dimensiones se pueden representar de manera similar por tresComponentes cartesianos , a lo largo de los ejes x , y y z ; por ejemplo, V = ( V x , V y , V z ).

Integral de línea

Imagine una línea, no necesariamente recta, trazada entre dos puntos A y B y marcada en innumerables elementos pequeños como δ l en la Figura 7 , que debe considerarse como un vector. Si un campo vectorial toma un valor V en este punto, la cantidad V δ l · cos θ se llamaproducto escalar de los dos vectores V y δ ly se escribe como V · δ l . La suma de todas las contribuciones similares de los diferentes δ l da, en el límite cuando los elementos se hacen infinitesimalmente pequeños, la integral de línea Representación de una integral de línea.V · d l a lo largo de la línea elegida.

Volviendo al mapa de contorno , se verá queRepresentación de una integral de línea.(grad h ) · d l es solo la altura vertical de B sobre A y que el valor de la integral de línea es el mismo para todas las opciones de línea que une los dos puntos. Cuando una cantidad escalar ϕ, que tiene magnitud pero no dirección, se define de forma única en cada punto del espacio, ya que h está en un mapa bidimensional, se dice que el vector grad ϕ es irrotacional y ϕ ( r ) es el potencial función de la cual se puede derivar un campo vectorial grad ϕ. No todos los campos vectoriales pueden derivarse de una función potencial, pero los campos de Coulomb y gravitacional tienen esta forma.