متفرقات

التوافقية | الرياضيات

التوافقية ، وتسمى أيضًاالرياضيات التوافقية ، مجال الرياضيات المعني بمشاكل الاختيار والترتيب والتشغيل ضمن نظام محدود أو منفصل. تم تضمينه في المنطقة وثيقة الصلة بالهندسة الاندماجية .

تتمثل إحدى المشكلات الأساسية للتوافقيات في تحديد عدد التكوينات الممكنة ( مثل الرسوم البيانية والتصميمات والمصفوفات) لنوع معين. حتى عندما تكون القواعد التي تحدد التكوين بسيطة نسبيًا ، فقد يمثل التعداد أحيانًا صعوبات هائلة . قد يضطر عالم الرياضيات إلى الاكتفاء بإيجاد إجابة تقريبية أو على الأقل حد أدنى وأعلى جيد.

في الرياضيات ، بشكل عام ، يُقال أن الكيان "موجود" إذا كان مثال رياضي يفي بالخصائص المجردة التي تحدد الكيان. بهذا المعنى ، قد لا يكون من الواضح أنه حتى التكوين الفردي مع بعض الخصائص المحددة موجود. هذا الوضع يثير مشاكل الوجود والبناء. هناك مرة أخرى فئة مهمة من النظريات التي تضمن وجود خيارات معينة في ظل فرضيات مناسبة . إلى جانب مصلحتهم الجوهرية ، يمكن استخدام هذه النظريات كمنظرات وجود في مشاكل اندماجية مختلفة.

أخيرًا ، هناك مشاكل في التحسين . على سبيل المثال ، الوظيفة f ، الوظيفة الاقتصادية ، تعين القيمة العددية f ( x ) لأي تكوين x مع خصائص محددة معينة. في هذه الحالة ، تكمن المشكلة في اختيار تكوين x 0 يقلل من f ( x ) أو يجعله ε = الحد الأدنى - أي لأي رقم ε> 0 ، f ( x 0 ) f ( x ) + ε ، لجميع التكوينات x ، مع الخصائص المحددة.

احصل على اشتراك Britannica Premium وتمتع بالوصول إلى محتوى حصري. إشترك الآن

تاريخ

التطورات المبكرة

جذبت أنواع معينة من المشاكل الاندماجية انتباه علماء الرياضيات منذ العصور المبكرة. المربعات السحرية ، على سبيل المثال ، وهي عبارة عن مصفوفات مربعة من الأرقام مع الخاصية التي تضيفها الصفوف والأعمدة والأقطار إلى نفس العدد ، تحدث في I Ching ، وهو كتاب صيني يعود تاريخه إلى القرن الثاني عشر قبل الميلاد . كانت المعاملات ذات الحدين ، أو المعاملات الصحيحة في توسيع ( أ + ب ) ن ، معروفة لعالم الرياضيات الهندي في القرن الثاني عشرباسكارا ، الذي كرّس في كتابه Līlāvatī (" الرشيق ") إلى امرأة جميلة ، قواعد حسابها مع أمثلة توضيحية. تم تدريس "مثلث باسكال" ، وهو مصفوفة مثلثة من المعاملات ذات الحدين ، من قبل الفيلسوف الفارسي في القرن الثالث عشر ، نور الدين آسو.

في الغرب، يمكن اعتبار أن تبدأ في القرن 17 مع التوافقية بليز باسكال و بيير دي فيرما ، كلا من فرنسا، الذي اكتشف العديد من النتائج اندماجي الكلاسيكية في اتصال مع تطور نظرية الاحتمال . تم استخدام المصطلح الاندماجي لأول مرة بالمعنى الرياضي الحديث من قبل الفيلسوف وعالم الرياضيات الألماني جوتفريد فيلهلم ليبنيز في كتابه Dissertatio de Arte Combinatoria ("أطروحة تتعلق بالفنون التوافقية"). وتنبأ تطبيقات هذا الجديد الانضباط إلى مجموعة كاملة من العلوم. عالم الرياضيات السويسريكان ليونارد أويلر مسؤولاً أخيرًا عن تطوير مدرسة للرياضيات التوافقية الأصيلة بدءًا من القرن الثامن عشر. أصبح والد نظرية الرسم البياني عندما حسم مشكلة جسر كونيجسبيرج ، ولم يتم حل تخمينه الشهير حول المربعات اللاتينية حتى عام 1959.

في إنجلترا ، قدم آرثر كايلي ، قرب نهاية القرن التاسع عشر ، مساهمات مهمة في نظرية الرسم البياني التعدادي ، واكتشف جيمس جوزيف سيلفستر العديد من النتائج التجميعية. استخدم عالم الرياضيات البريطاني جورج بول في نفس الوقت تقريبًا طرق اندماجية فيما يتعلق بتطور المنطق الرمزي ، والأفكار والأساليب الاندماجية لهنري بوانكاريه ، والتي تطورت في الجزء الأول من القرن العشرين فيما يتعلق بمشكلة الجثث n ، إلى علم الطوبولوجياالتي تحتل مركز مرحلة الرياضيات. تم طرح العديد من المشكلات الاندماجية خلال القرن التاسع عشر على أنها مشكلات ترفيهية بحتة وتم تحديدها بأسماء مثل "مشكلة الملكات الثماني" و "مشكلة فتاة مدرسة كيركمان". من ناحية أخرى ، كانت دراسة الأنظمة الثلاثية التي بدأها توماس ب. كيركمان في عام 1847 وتتبعها جاكوب شتاينر ، عالم الرياضيات الألماني المولود في سويسرا ، في خمسينيات القرن التاسع عشر بداية نظريةالتصميم . من بين أقدم الكتب المكرسة حصريًا لعلم التوليف ، عالم الرياضيات الألماني يوجين نيتو Lehrbuch der Combinatorik (1901 ؛ "كتاب التوافقية") وعالم الرياضيات البريطاني بيرسي ألكسندر ماكماهون التحليل التوافقي (1915–16) ، اللذان يقدمان رؤية للنظرية التوافقية كما هي. موجودة قبل عام 1920.

التوافقية خلال القرن العشرين

ساهمت العديد من العوامل في تسارع وتيرة تطوير النظرية الاندماجية منذ عام 1920. وكان أحد هذه العوامل هو تطوير النظرية الإحصائية لتصميم التجارب من قبل الإحصائيين الإنجليز رونالد فيشر وفرانك ييتس ، مما أدى إلى ظهور العديد من مشاكل الاندماج. فائدة؛ وجدت الأساليب التي تم تطويرها في البداية لحلها تطبيقات في مجالات مثل نظرية الترميز. أصبحت نظرية المعلومات ، التي نشأت في منتصف القرن تقريبًا ، مصدرًا غنيًا للمشكلات الاندماجية من نوع جديد تمامًا.

مصدر آخر لإحياء الاهتمام بالتوافقيات هو نظرية الرسم البياني ، والتي تكمن أهميتها في حقيقة أن الرسوم البيانية يمكن أن تكون بمثابة نماذج مجردة لأنواع مختلفة من مخططات العلاقات بين مجموعات من الكائنات. تمتد تطبيقاته إلى بحوث العمليات ، والكيمياء ، والميكانيكا الإحصائية ، والفيزياء النظرية ، والمشاكل الاجتماعية والاقتصادية. يمكن اعتبار نظرية شبكات النقل على أنها فصل من نظرية الرسوم البيانية الموجهة. واحدة من أكثر المشاكل النظرية تحديًا ، تنتمي مشكلة الألوان الأربعة (انظر أدناه) إلى مجال نظرية الرسم البياني. كما أن لديها تطبيقات لفروع الرياضيات الأخرى مثل نظرية المجموعة .

يعد تطور تكنولوجيا الكمبيوتر في النصف الثاني من القرن العشرين سببًا رئيسيًا للاهتمام بالرياضيات المحدودة بشكل عام والنظرية الاندماجية بشكل خاص. لا تنشأ المشكلات التجميعية فقط في التحليل العددي ولكن أيضًا في تصميم أنظمة الكمبيوتر وفي تطبيق أجهزة الكمبيوتر على مشاكل مثل تلك المتعلقة بتخزين المعلومات واسترجاعها.

الميكانيكا الإحصائية هي واحدة من أقدم المصادر وأكثرها إنتاجية للمشكلات التوافقية. قام علماء الرياضيات والفيزياء التطبيقيون بالكثير من العمل التوافقي المهم منذ منتصف القرن العشرين - على سبيل المثال ، العمل على نماذج Ising (انظر أدناه مشكلة Ising ).

في الرياضيات البحتة ، تم استخدام الطرق التوافقية مع ميزة في مجالات متنوعة مثل الاحتمال والجبر (المجموعات والحقول المحدودة ، نظرية المصفوفة والشبكة) ، نظرية الأعداد (مجموعات الفروق) ، نظرية المجموعات ( نظرية سبيرنر) ، والمنطق الرياضي (رامسي). نظرية).

على النقيض من النطاق الواسع للمشكلات الاندماجية وتعدد الأساليب التي تم ابتكارها للتعامل معها ، فإن الافتقار إلى نظرية موحدة مركزية. ومع ذلك ، فقد بدأت المبادئ الموحدة والصلات المتقاطعة تظهر في مجالات مختلفة من النظرية الاندماجية. إن البحث عن نمط أساسي قد يشير بطريقة ما إلى كيفية تداخل الأجزاء المتنوعة من التوافقية هو تحدٍ يواجه علماء الرياضيات في الربع الأخير من القرن العشرين.